742 replies to this topic

[hoahoalop9c]

có mã khi a=b hoặc a max

Tại a=b thì giá trị lớn nhất mà a,b có thể đạt là a=b=1,5

Khi đó a²+b²=1,5

Tại a max thì giá trị lớn nhất mà b có thể đạt là 1

Khi đó a²+b²=5

Vậy max a²+b² là 5 tại a=2,b=1

mã là gì thế, giải thích hộ tớ vs

 

 

Từ giả thiết ta có $b=\frac{a}{2(a-1)}$$\Rightarrow a^2+b^2=a^2+\frac{a^2}{4(a-1)^2}$

Do đó ta cần chứng minh $a^2+\frac{a^2}{4(a-1)^2}\leqslant 5$

           $\Leftrightarrow (a-2)(4a^3-15a+10)\leqslant 0\Leftrightarrow 4a^3-15a+10\geqslant 0$

Nếu $a>\frac{3}{2}\Rightarrow 4a^3-15a+10>0$

Nếu $a<\frac{3}{2}\Rightarrow b<\frac{3}{2}\Rightarrow a^2+b^2<\frac{9}{2}<5$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=2 ,b=1$

Định lí này ở đâu đấy, có lí do gì để $b \leqslant 1$ không ?

Tại sao anh nhóm vào giỏi thế, có mẹo nào k, chỉ giúp e vs, e k đủ thông minh để tự nhóm đc như thế

 

Sao lại chọn $\frac{3}{2}$ ạ, a lấy ở đâu $\frac{3}{2}$  thế ạ?????

 

Rất mong đc nghe mọi người giải thích hộ ạ

 

Edited by hoahoalop9c, 08-03-2014 - 18:51.

[huukhangvn]

là max ấy mình đánh máy lộn

[angleofdarkness]

 

mã là gì thế, giải thích hộ tớ vs

 

 

Tại sao anh nhóm vào giỏi thế, có mẹo nào k, chỉ giúp e vs, e k đủ thông minh để tự nhóm đc như thế

 

Sao lại chọn $\frac{3}{2}$ ạ, a lấy ở đâu $\frac{3}{2}$  thế ạ?????

 

Rất mong đc nghe mọi người giải thích hộ ạ

 

 

 

Mã là max (lỗi gõ tiếng việt thôi )

 

Bạn chỉ cần nhân phá ra là đc, k cần mẹo gì ở đây cả.

 

Chỗ này là kĩ thuật giải BPT loại đơn giản (BPT bậc III).

Edited by angleofdarkness, 08-03-2014 - 19:17.

[hoahoalop9c]

Đây nữa 

112/

Các số a,b,c dương  thỏa mãn abc=1. cmr:

S=$\frac{1}{(a+1)^2+b^2+1} +\frac{1}{(b+1)^2+c^2+1}+\frac{1}{(c+1)^2+a^2+1}$ $\leq$ $\frac{1}{2}$

[lahantaithe99]

Đây nữa 

112/

Các số a,b,c dương  thỏa mãn abc=1. cmr:

S=$\frac{1}{(a+1)^2+b^2+1} +\frac{1}{(b+1)^2+c^2+1}+\frac{1}{(c+1)^2+a^2+1}$ $\leq$ $\frac{1}{2}$

Ta có $S=\sum \frac{1}{(a+1)^2+b^2+1}=\sum \frac{1}{a^2+2a+2+b^2}\leq \sum \frac{1}{2(ab+a+1)}$

 

Do đó $S\leq\frac{1}{2}(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ac+a+1})$

 

Từ giả thiết $abc=1$ ta dễ tính đc biểu thức trong ngoặc $=1$

 

suy ra $S\leq\frac{1}{2}$

[buiminhhieu]

Từ giả thiết ta có $b=\frac{a}{2(a-1)}$$\Rightarrow a^2+b^2=a^2+\frac{a^2}{4(a-1)^2}$

Do đó ta cần chứng minh $a^2+\frac{a^2}{4(a-1)^2}\leqslant 5$

           $\Leftrightarrow (a-2)(4a^3-15a+10)\leqslant 0\Leftrightarrow 4a^3-15a+10\geqslant 0$

Nếu $a>\frac{3}{2}\Rightarrow 4a^3-15a+10>0$

Nếu $a<\frac{3}{2}\Rightarrow b<\frac{3}{2}\Rightarrow a^2+b^2<\frac{9}{2}<5$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=2 ,b=1$

 

sai chỗ màu đỏ này:$b\leq ...;b\leq ...$

Chỗ màu xanh : $b\leq ...$ nhưng chắc gì $a<\frac{3}{2}\Rightarrow b<\frac{3}{2}$

[25 minutes]

sai chỗ màu đỏ này:$b\leq ...;b\leq ...$

Chỗ màu xanh : $b\leq ...$ nhưng chắc gì $a<\frac{3}{2}\Rightarrow b<\frac{3}{2}$

Bạn không thấy $0<b<a \leqslant 2$ đầu bài hay sa0 ?

[lahantaithe99]

sai chỗ màu đỏ này:$b\leq ...;b\leq ...$

Chỗ màu xanh : $b\leq ...$ nhưng chắc gì $a<\frac{3}{2}\Rightarrow b<\frac{3}{2}$

Cậu ko đọc kỹ đề bài sao. ĐỀ BÀI CHO $b<a$ rồi mà 

[backieuphong]

Cho a,b,c >0. Chứng minh

$\frac{{{\left( b+c-a \right)}^{2}}}{{{\left( b+c \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}+\frac{{{\left( c+a-b \right)}^{2}}}{{{\left( c+a \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}+\frac{{{\left( a+b-c \right)}^{2}}}{{{\left( a+b \right)}^{2}}+{{c}^{2}}}\ge \frac{3}{5}$

[hoctrocuanewton]

Cho a,b,c >0. Chứng minh

$\frac{{{\left( b+c-a \right)}^{2}}}{{{\left( b+c \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}+\frac{{{\left( c+a-b \right)}^{2}}}{{{\left( c+a \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}+\frac{{{\left( a+b-c \right)}^{2}}}{{{\left( a+b \right)}^{2}}+{{c}^{2}}}\ge \frac{3}{5}$

 bạn có thể tham khảo cách làm tại đây

[BoY LAnH LuNg]

Cho a, b, c dương thoả mãn $\frac{1}{a}$  +  $\frac{1}{c}$  +  $\frac{2}{b}$

Tìm GTNN P = $\frac{a + b}{2a - b}$  +  $\frac{c + b}{2c - b}$

[BABY CUTE]

Cho a, b, c dương thoả mãn $\frac{1}{a}$  +  $\frac{1}{c}$  +  $\frac{2}{b}$

Tìm GTNN P = $\frac{a + b}{2a - b}$  +  $\frac{c + b}{2c - b}$

Áp dụng BDT $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$   $\geq$   $\frac{4}{x + y}$ là được

[nguyenhongsonk612]

Bài 1: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR:

$\sum \frac{2(b+c-a)^2}{2a^2+(b+c)^2}\geq \frac{3.\sum a^2}{(\sum a)^{2}}$

Bài 2: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm max của:

$\sum \frac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}$

Edited by nguyenhongsonk612, 17-03-2014 - 20:37.

[angleofdarkness]

Bài 1: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. CMR:

$\sum \frac{(b+c-a)^2}{2a^2+(b+c)^2}\geq \frac{3.\sum a^2}{(\sum a)^{2}}$

Bài 2: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa. Tìm max của:

$\sum \frac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}$

 

Bạn xem lại đề giúp mình cả dấu $\geq$ hay $\leq$ và xem thỏa mãn gì với

[nguyenhongsonk612]

Bạn xem lại đề giúp mình cả dấu $\geq$ hay $\leq$ và xem thỏa mãn gì với

Đề bài bài 2 đúng rồi mà bạn, nó chỉ có thể thôi! hihi!

Còn đề bài 1 mình sr, đã fix!!

P/s: Thôi thêm điều kiện 2 bài cho nó dễ!!

Edited by nguyenhongsonk612, 17-03-2014 - 12:30.

[Viet Hoang 99]

103

$a\sqrt{ac}\leq a\frac{a+c}{2}$$\Rightarrow \sum a\sqrt{ac}\leq \frac{\sum a^{2}+\sum ab}{2}$

lại có $\sum \frac{a^{3}}{b}\sum \frac{a^{4}}{ab}\geq {(\sum a^{2})^{2}}{\sum ab}$

ta cần cm ${(\sum a^{2})^{2}}{\sum ab}\geq \frac{\sum a^{2}+\sum ab}{2}$

mà $\sum a^{2}\geq \sum ab$

$\Rightarrow (\sum a^{2})^{2}\geq (\sum a^{2})(\sum ab)$

$\Rightarrow (\sum a^{2})^{2}\geq (\sum ab)^{2}$

nên ta có đpcm

Kết nối dấu = và dấu phân số vào, mình cũng chưa hiểu cách làm
103)
$\sum \frac{a^3}{b}=\sum \frac{a^4}{ab}\geq \frac{(\sum a^2)^2}{\sum ab}$ (BCS dạng cộng mẫu)
$\geq \frac{(\sum a^2)^2}{\sum a^2}=\sum a^2$

Có: $a^2+a^2+a^2+c^2\geq 4a\sqrt{ac}$

$\Rightarrow \sum \frac{a^3}{b}\geq \sum a^2\geq \sum a\sqrt{ac}$

Dấu = có khi: $a=b=c$

 

105.

 

áp dụng AM-GM ta có: $\sqrt{xy}\leq \frac{x}{4}+y$

$\sqrt[3]{xyz}\leq \frac{\frac{x}{4}+y+4z}{3}$

 

$\frac{4}{3}=x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}\leq \frac{4(x+y+z)}{3}\Rightarrow x+y+z\geq 1$

105)
Cách 2:

$\frac{4}{3}=x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}=x+\frac{1}{2}\sqrt{x.4y}+\frac{1}{4}\sqrt[3]{x.4y.16z}$

$\leq x+\frac{1}{4}(x+4y)+\frac{1}{12}(x+4y+16z)=\frac{4}{3}(x+y+z)$

$\Rightarrow x+y+z\geq 1$

Dấu = có khi: $x=y=z=\frac{1}{3}$

[Viet Hoang 99]

Loạn hết rồi à? @@
 

106) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a^2+b^2+c^2=1$. Cmr: $\sum \frac{1}{a^2+b^2}\leq \frac{\sum a^3}{2abc}+3$

 

107)

a) Cho $x;y>0$. Cmr: $\sum \frac{1}{x^2}\geq \frac{8}{(x+y)^2}$

b) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $ab+bc+ca\leq abc$. Cmr: $\sum \frac{8}{a+b}\leq \sum \frac{b+c}{a^2}+2$

 

c) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a>b>c$. Cmr: $\frac{a^2+c^2}{2}+\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}\geq ac+4$

 

108) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $3a^2+2b^2+c^2\leq 1$. Tìm Min $S=\frac{3a}{bc}+\frac{4b}{ac}+\frac{5c}{ab}$

 

109) Cho $x;y$ thỏa: $4x^2+y^2=1$. Tìm min; max của $A=\frac{2x+3y}{2x+y+2}$

Edited by Viet Hoang 99, 18-03-2014 - 19:30.

[lahantaithe99]

Loạn hết rồi à? @@
 

106) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a^2+b^2+c^2=1$. Cmr: $\sum \frac{1}{a^2+b^2}\leq \frac{\sum a^3}{2abc}+3$

 

107)

a) Cho $x;y>0$. Cmr: $\sum \frac{1}{x^2}\geq \frac{8}{(x+y)^2}$

b) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $ab+bc+ca\leq abc$. Cmr: $\sum \frac{8}{a+b}\leq \sum \frac{b+c}{a^2}+2$

 

 

 

 

106

Áp dụng bđt Co si $b^2+c^2\geqslant 2bc\Rightarrow \frac{a^2}{b^2+c^2}\leqslant \frac{a^2}{2bc}$

 

$\Rightarrow \sum \frac{a^2}{b^2+c^2}\leqslant \sum \frac{a^2}{2bc}=\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}$

 

$\Rightarrow \sum \frac{a^2+b^2+c^2}{b^2+c^2}\leqslant \frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+3$

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{b^2+c^2}\leqslant \frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+3$

Bài 107

a

$\sum \frac{1}{x^2}\geqslant \frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^2=\frac{1}{2}.\frac{(x+y)^2}{x^2y^2}$ $(1)$

 

Theo bdt Co si $xy\leqslant \frac{(x+y)^2}{4}\Rightarrow x^2y^2\leqslant \frac{(x+y)^4}{16}$ $(2)$

 

$(1);(2)\Rightarrow \sum \frac{1}{x^2}\geqslant \frac{8}{(x+y)^2}$

b) Từ phần a suy ra

 

$\frac{a+b}{a^2}+\frac{a+b}{b^2}\geqslant \frac{8}{a+b}$

 

Do đó

 

$\sum \frac{8}{a+b}\leqslant \frac{a+b}{a^2}+\frac{a+b}{b^2}+\frac{b+c}{b^2}+\frac{b+c}{c^2}+\frac{a+c}{a^2}+\frac{a+c}{c^2}$

 

$=\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}+\frac{c}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}+\frac{a}{c^2}+2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

 

$=\frac{a+c}{b^2}+\frac{b+c}{a^2}+\frac{a+b}{c^2}+2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$ $(1)$

 

Từ $GT :ab+bc+ac\leqslant abc\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leqslant 1\Rightarrow 2\sum\frac{1}{a}\leqslant 2$ $(2)$

 

Từ $(1);(2)$ ta đc đpcm

c)

Áp dụng bđt $AM-GM$

$\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}\geqslant \frac{2}{(a-b)(b-c)}\geqslant \frac{8}{(a-c)^2}$

$\Rightarrow VT\geqslant \frac{a^2+c^2}{2}+\frac{8}{(a-c)^2}$

$=\frac{2ac}{2}+\frac{(a-c)^2}{2}+\frac{8}{(a-c)^2}\geqslant ac+4$ (cô si)

Edited by lahantaithe99, 18-03-2014 - 12:59.

[nguyenhongsonk612]

Bài 2: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm max của:

$A=\sum \frac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}$

P/s: Giải tạm bài này:))

Ta C/m BĐT sau là đúng:

$\frac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}= \frac{a(3-a)}{(3-a)^2+a^2}\leq \frac{11-a}{25}$. Thật vậy, BĐT tương đương với $2a^3-41a^2+18a-99\leq 0\Leftrightarrow a^2(2a-41)+18a-99\leq 0$. (đúng vì $a\leq 3$)

Thiết lập các BĐT tương tự với các biến $b,c$ rồi cộng các vế lại ta có $A\leq \frac{6}{5}$. Vậy max $A=\frac{6}{5}$. Dấu "=" khi a=b=c=1

[Viet Hoang 99]

C2 mát lạnh

 

 

107)

a) Cho $x;y>0$. Cmr: $\sum \frac{1}{x^2}\geq \frac{8}{(x+y)^2}$

 

 

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}} \geq \frac{4}{a^{2}+b^{2}}$

rồi biến đổi tđ là xong

Đã giải rồi.

 

Loạn hết rồi à? @@
 

106) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a^2+b^2+c^2=1$. Cmr: $\sum \frac{1}{a^2+b^2}\leq \frac{\sum a^3}{2abc}+3$

 

107)

a) Cho $x;y>0$. Cmr: $\sum \frac{1}{x^2}\geq \frac{8}{(x+y)^2}$

b) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $ab+bc+ca\leq abc$. Cmr: $\sum \frac{8}{a+b}\leq \sum \frac{b+c}{a^2}+2$

 

c) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a>b>c$. Cmr: $\frac{a^2+c^2}{2}+\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}\geq ac+4$

 

108) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $3a^2+2b^2+c^2\leq 1$. Tìm Min $S=\frac{3a}{bc}+\frac{4b}{ac}+\frac{5c}{ab}$

 

109) Cho $x;y$ thỏa: $4x^2+y^2=1$. Tìm min; max của $A=\frac{2x+3y}{2x+y+2}$

108.

$S=\frac{3a^2+4b^2+5c^2}{abc}\geq \frac{12\sqrt[12]{a^6b^8c^{10}}}{abc}$ (Cô-si 12 số) (1)

Có: $1\geq 3a^2+2b^2+c^2\geq 6\sqrt[6]{a^6b^4c^2}=6\sqrt[3]{a^3b^2c}$ (Cô-si 6 số)
$\Rightarrow a^3b^2c\leq \frac{1}{6^3}$

Từ $(1)\Rightarrow S\geq \frac{12\sqrt[12]{a^6b^8c^{10}}}{\sqrt[12]{a^{12}b^{12}c^{12}}}=\frac{12}{\sqrt[12]{a^6b^4c^2}}=\frac{12}{\sqrt[6]{a^3b^2c}}\geq \frac{12}{\sqrt[6]{\frac{1}{6^3}}}=12\sqrt{6}$

Dấu = có khi: $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{6}}$

 

109. 

$A=\frac{2x+3y}{2x+y+2}\Leftrightarrow 2Ax+yA+2A=2x+3y\Leftrightarrow 2A=2x(1-A)+y(3-A)$

$\Leftrightarrow 4A^2=[2x(1-A)+y(3-A)]^2\leq (4x^2+y^2)[(1-A)^2+(3-A)^2]=1.(10-8A+2A^2)$

$\Leftrightarrow 2A^2+8A-10\leq 0\Leftrightarrow -5\leq A\leq 1$

$Min A=-5$ khi ... (tìm giúp)

$Max A=1$ khi $x=0;y=1$