Chủ đề này có 742 trả lời

[nguyenhongsonk612]

Bài 1: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR:

$\sum \frac{2(b+c-a)^2}{2a^2+(b+c)^2}\geq \frac{3.\sum a^2}{(\sum a)^{2}}$

p/s: Tiếp tục làm nào!! 

Với $a+b+c=3$ ta có BĐT cần C/m tương đương với:

$\sum \frac{2(3-2a)^2}{2a^2+(3-a)^2}\geq \frac{\sum a^{2}}{3}$. Ta C/m BĐT sau là đúng:

$\frac{2(3-2a)^2}{2a^2+(3-a)^2}\geq \frac{a^{2}-6a+6}{3}$. Thật vậy, BĐT tương đương với 

$\Leftrightarrow a(a-1)^2(a-6)\leq 0$ (luôn đúng vì $a\leq 3$)

Thiết lập các BĐT tương tự với 2 phân thức còn lại rồi cộng vế với vế được ĐPCM!!!

[synovn27]

Đã giải rồi.

 

108.

$S=\frac{3a^2+4b^2+5c^2}{abc}\geq \frac{12\sqrt[12]{a^6b^8c^{10}}}{abc}$ (Cô-si 12 số) (1)

Có: $1\geq 3a^2+2b^2+c^2\geq 6\sqrt[6]{a^6b^4c^2}=6\sqrt[3]{a^3b^2c}$ (Cô-si 6 số)
$\Rightarrow a^3b^2c\leq \frac{1}{6^3}$

Từ $(1)\Rightarrow S\geq \frac{12\sqrt[12]{a^6b^8c^{10}}}{\sqrt[12]{a^{12}b^{12}c^{12}}}=\frac{12}{\sqrt[12]{a^6b^4c^2}}=\frac{12}{\sqrt[6]{a^3b^2c}}\geq \frac{12}{\sqrt[6]{\frac{1}{6^3}}}=12\sqrt{6}$

Dấu = có khi: $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{6}}$

 

109. 

$A=\frac{2x+3y}{2x+y+2}\Leftrightarrow 2Ax+yA+2A=2x+3y\Leftrightarrow 2A=2x(1-A)+y(3-A)$

$\Leftrightarrow 4A^2=[2x(1-A)+y(3-A)]^2\leq (4x^2+y^2)[(1-A)^2+(3-A)^2]=1.(10-8A+2A^2)$

$\Leftrightarrow 2A^2+8A-10\leq 0\Leftrightarrow -5\leq A\leq 1$

$Min A=-5$ khi ... (tìm giúp)

$Max A=1$ khi $x=0;y=1$

cosi chỉ dk qui định dùng 2,3 số thôi mà

[angleofdarkness]

cosi chỉ dk qui định dùng 2,3 số thôi mà

 

Ở đây không phải như các kì thi nên dùng cho n số luôn bạn à   

[nguyenhongsonk612]

Bài 110:Biết $x,y,z$ là độ dài các đoạn thẳng thỏa mãn

$\frac{x^2+y^2-z^2}{2xy}+\frac{y^2+z^2-x^2}{2yz}+\frac{z^2+x^2-y^2}{2zx}> 1$

Chứng minh $x,y,z$ là độ dài các cạnh của 1 tam giác

Bài 111: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. CMR:

$\sum \frac{a}{(b+c)^2}\geq \frac{9}{4(\sum a)}$

Bài 112: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. CMR

$\sum \frac{(b+c-a)^2}{2a^2+(b+c)^2}\geq \frac{1}{2}$

Bài 113: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. CMR

$\sum \frac{(b+c+2a)^2}{2a^2+(b+c)^2}\leq 8$

P/s: HẾT!!!   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 19-03-2014 - 20:00

[angleofdarkness]

Bài 3: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. CMR

$\sum \frac{(b+c-a)^2}{2a^2+(b+c)^2}\geq \frac{1}{2}$

 

 

$\sum \dfrac{(b+c-a)^2}{2a^2+(b+c)^2}\geq \dfrac{[\sum (b+c-a)]^2}{\sum [2a^2+(b+c)^2]}=\dfrac{(\sum a)^2}{2\sum a^2+\sum (b+c)^2} \\ \geq \dfrac{(\sum a)^2}{2\sum a^2+\sum [2(b^2+c^2)]}=\dfrac{(\sum a)^2}{6\sum a^2} \\ \geq \dfrac{3 \sum ab}{6\sum ab}=\dfrac{1}{2}$

 

 

P/S: lần sau bạn chú ý đặt đề theo STT đã có trong pic bạn nhé!

[canhhoang30011999]

$\sum \dfrac{(b+c-a)^2}{2a^2+(b+c)^2}\geq \dfrac{[\sum (b+c-a)]^2}{\sum [2a^2+(b+c)^2]}=\dfrac{(\sum a)^2}{2\sum a^2+\sum (b+c)^2} \\ \geq \dfrac{(\sum a)^2}{2\sum a^2+\sum [2(b^2+c^2)]}=\dfrac{(\sum a)^2}{6\sum a^2} \\ \geq \dfrac{3 \sum ab}{6\sum ab}=\dfrac{1}{2}$

 

 

P/S: lần sau bạn chú ý đặt đề theo STT đã có trong pic bạn nhé!

bạn bị ngược dấu rồi 

[canhhoang30011999]

Bài 1:Biết $x,y,z$ là độ dài các đoạn thẳng thỏa mãn

$\frac{x^2+y^2-z^2}{2xy}+\frac{y^2+z^2-x^2}{2yz}+\frac{z^2+x^2-y^2}{2zx}> 1$

Chứng minh $x,y,z$ là độ dài các cạnh của 1 tam giác

Bài 2: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. CMR:

$\sum \frac{a}{(b+c)^2}\geq \frac{9}{4(\sum a)}$

Bài 3: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. CMR

$\sum \frac{(b+c-a)^2}{2a^2+(b+c)^2}\geq \frac{1}{2}$

Bài 4: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. CMR

$\sum \frac{(b+c+2a)^2}{2a^2+(b+c)^2}\leq 8$

P/s: HẾT!!!   

3 $\sum \frac{(b+c-a)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}\geq \sum \frac{(b+c-a)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

ta cần cm $\sum \frac{(b+c-a)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\geq \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sum (b+c-a)^{2}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$(luôn đúng)

[lahantaithe99]

 

Bài 111: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. CMR:

$\sum \frac{a}{(b+c)^2}\geq \frac{9}{4(\sum a)}$

 

P/s: HẾT!!!   

111.

BĐT cần chứng minh tương đương

 

$(a+b+c)(\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(c+a)^2}+\frac{c}{(a+b)^2})\geqslant \frac{9}{4}$

 

Áp dụng bđt Bunhiacopxki

 

$(a+b+c)(\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(c+a)^2}+\frac{c}{(a+b)^2})\geqslant (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^2$

$\geqslant (\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$ (đúng theo BĐT Nesbit)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 20-03-2014 - 17:20

[nguyenhongsonk612]

Bài 110:Biết $x,y,z$ là độ dài các đoạn thẳng thỏa mãn

$\frac{x^2+y^2-z^2}{2xy}+\frac{y^2+z^2-x^2}{2yz}+\frac{z^2+x^2-y^2}{2zx}> 1$

Chứng minh $x,y,z$ là độ dài các cạnh của 1 tam giác

P/s: Mình "xơi" câu này vậy, đây là câu ngày trước thi chọn vòng I ở huyện mình. Cay quá!!

$\frac{x^2+y^2-z^2}{2xy}+\frac{y^2+z^2-x^2}{2yz}+\frac{z^2+x^2-y^2}{2zx}> 1$

$\Leftrightarrow \frac{x^2+y^2-z^2}{2xy}-1+\frac{y^2+z^2-x^2}{2yz}+1+\frac{z^2+x^2-y^2}{2zx}-1> 0$

$\Leftrightarrow \frac{(x-y)^2-z^2}{2xy}+\frac{(y+z)^2-x^2}{2yz}+\frac{(z-x)^2-y^2}{2zx}> 0$

Đến đây quy đồng và khử mẫu rồi đưa BĐT trên về dạng:

$(y+z-x)(x+y-z)(x+z-y)> 0$

$\Rightarrow$ Có ít nhất một trong ba nhân tử dương

Không mất tính tổng quát, giả sử $y+z-x>0$$\Leftrightarrow y+z>x$

Xảy ra 2 TH:

TH1: $\left\{\begin{matrix} x+y-z<0 & & \\ z+x-y<0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow x< 0$ (Vô lí)

TH2: $\left\{\begin{matrix} x+y-z>0 & & \\ z+x-y>0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow x> 0$ (Thõa mãn giả thiết)

Vậy ta chứng minh được $x,y,z$ là độ dài các cạnh của 1 tam giác.

[BoY LAnH LuNg]

Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 1

a, CMR $\frac{a + bc}{b + c}$  +  $\frac{b + ca}{c + a}$  +  $\frac{c + ab}{a + b}$    $\geq$   2

b, Tìm GTNN của P = $\frac{a}{ab + c}$  +  $\frac{b}{bc + a}$ + $\frac{c}{ac + b}$

 

P/s:Bài này sử dụng phương pháp đổi biến nhé!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BoY LAnH LuNg: 20-03-2014 - 23:23

[BoY LAnH LuNg]

Cho a, b là các số thực dương thoả mãn a + b = 2.Tìm GTNN của P = $\frac{a^{2}}{a + 1}$  +  $\frac{b^{2}}{b + 1}$

P/s: bài này sử dụng Cauchy ngược dấu nhé

[lehoangphuc1820]

Cho a, b là các số thực dương thoả mãn a + b = 2.Tìm GTNN của P = $\frac{a^{2}}{a + 1}$  +  $\frac{b^{2}}{b + 1}$

P/s: bài này sử dụng Cauchy ngược dấu nhé

sao không sử dụng $Cauchy-Schwarz$ cho nhanh 

[nguyenhongsonk612]

Cho a, b là các số thực dương thoả mãn a + b = 2.Tìm GTNN của P = $\frac{a^{2}}{a + 1}$  +  $\frac{b^{2}}{b + 1}$

P/s: bài này sử dụng Cauchy ngược dấu nhé

Áp dụng BĐT S-vác:

$P\geq \frac{(a+b)^2}{a+b+2}= \frac{2^2}{2+2}= 1$

Vậy min P = 1. Dấu "=" khi $a=b=1$

P/s: Dễ quá!!!

[lahantaithe99]

Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 1

a, CMR $\frac{a + bc}{b + c}$  +  $\frac{b + ca}{c + a}$  +  $\frac{c + ab}{a + b}$    $\geq$   2

b, Tìm GTNN của P = $\frac{a}{ab + c}$  +  $\frac{b}{bc + a}$ + $\frac{c}{ac + b}$

 

P/s:Bài này sử dụng phương pháp đổi biến nhé!!!

a)

 

Ta có $\sum \frac{a+bc}{b+c}=\sum \frac{a(a+b+c)+bc}{b+c}=\sum \frac{(a+b)(a+c)}{b+c}$

 

Cô si từng cặp một ta có 

 

$\sum \frac{(a+b)(a+c)}{b+c}\geqslant 2(a+b+c)=2$

 

b) 

Tương tự phần a ta có

 

$\sum \frac{a}{ab+c}=\sum \frac{a}{(c+a)(c+b)}$

 

Áp dụng bđt Cauchy

 

$\frac{a}{(a+c)(c+b)}+\frac{27a(b+c)}{8}+\frac{27a(a+c)}{8}\geqslant \frac{27}{4}a$

 

Thiết lập tương tự ta có

 

$\sum \frac{a}{(a+c)(c+b)}+\frac{27}{8}[(a+b+c)^2+ab+bc+ac]\geqslant \frac{27}{4}\sum a$

 

$\Leftrightarrow \sum \frac{a}{(a+c)(c+b)}\geqslant \frac{27}{4}-\frac{27}{8}-\frac{27}{8}(ab+bc+ac)$

 

Lại có $ab+bc+ac\leqslant \frac{1}{3}$

 

$\Rightarrow \sum \frac{a}{(b+c)(a+c)}\geqslant \frac{9}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 21-03-2014 - 17:29

[nguyenhongsonk612]

Bài 112: Cho $a,b,c,d$ là các số thực không âm thoả mãn:

$(a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b)>0$. CMR:

$\sum \sqrt{}\frac{a}{b+c+d}\geq 2$

[mnguyen99]

Cho mình hỏi đề 112 có phải CM : $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{a+d+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+d}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\geq 2$

Ở chỗ mình cấp 2 ko được học về zich ma.

[nguyenhongsonk612]

Cho mình hỏi đề 112 có phải CM : $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{a+d+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+d}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\geq 2$

Ở chỗ mình cấp 2 ko được học về zich ma.

Ừ, đúng rồi, đề là CM như thế đó.

P/s: Mình cũng đã học về sigma đâu!!

[nguyenhongsonk612]

Bài 112: Cho $a,b,c,d$ là các số thực không âm thoả mãn:

$(a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b)>0$. CMR:

$\sum \sqrt{}\frac{a}{b+c+d}\geq 2$

$\sum \sqrt{\frac{a}{b+c+d}}= \sum {{}\frac{a}{\sqrt{a(b+c+d)}}}\geq \sum \frac{a}{\frac{a+b+c+d}{2}}= \sum \frac{2a}{a+b+c+d}$

P/s: Không biết có đúng không?     

[lethanhson2703]

Mọi người giúp nhanh cho mình nha thanks nhìu 

114. Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$. Tính GTLN $P=\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}$

 

115. Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$. Tính GTLN $s=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}$

 

116. Cho $a,b,c>1$. CMR: $\frac{4a^{2}}{a-1}+\frac{5b^{2}}{b-1}+\frac{3c^{2}}{c-1}\geq 48$

 

117.Cho $a,b,c>0$. CMR $\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca$

 

118. Cho $x,y>0$ và $x+y=1$. CMR $P=\frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{xy}\geq 4+2\sqrt{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lethanhson2703: 21-03-2014 - 19:33

[canhhoang30011999]

Mọi người giúp nhanh cho mình nha thanks nhìu 

114. Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$. Tính GTLN $P=\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}$

 

115. Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$. Tính GTLN $s=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}$

 

116. Cho $a,b,c>1$. CMR: $\frac{4a^{2}}{a-1}+\frac{5b^{2}}{b-1}+\frac{3c^{2}}{c-1}\geq 48$

 

117.Cho $a,b,c>0$. CMR $\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca$

 

118. Cho $x,y>0$ và $x+y=1$. CMR $P=\frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{xy}\geq 4+2\sqrt{3}$

115

3-s=$\sum \frac{1}{x+1}\geq \frac{9}{x+y+z+3}= \frac{9}{4}$

$s\leq \frac{4}{3}$

116 $\frac{4a^{2}}{(a-1)1}\geq \frac{16a^{2}}{a^{2}}= 16$

tương tự ta có đpcm

117$\frac{a^{3}}{b}+ab\geq 2a^{2$\Rightarrow \sum \frac{a^{3}}{b}\geq \sum 2a^{2}-\sum ab \geq \sum ab$}$