Chủ đề này có 742 trả lời

[angleofdarkness]

Ừ, đúng rồi, đề là CM như thế đó.

P/s: Mình cũng đã học về sigma đâu!!

 

 

Cho mình hỏi đề 112 có phải CM : $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{a+d+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+d}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\geq 2$

Ở chỗ mình cấp 2 ko được học về zich ma.

 

 

$\sum \sqrt{\frac{a}{b+c+d}}= \sum {{}\frac{a}{\sqrt{a(b+c+d)}}}\geq \sum \frac{a}{\frac{a+b+c+d}{2}}= \sum \frac{2a}{a+b+c+d}$

P/s: Không biết có đúng không?     

 

Bài này trong pic đã có rồi, bạn đăng trùng.

 

P/S: chịu khó đọc lại 17 trang của pic đi bạn, không thì cũng phải 14 trang gần đây bạn nhé!

[lahantaithe99]

Mọi người giúp nhanh cho mình nha thanks nhìu 

114. Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$. Tính GTLN $P=\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}$

 

115. Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$. Tính GTLN $s=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}$

 

116. Cho $a,b,c>1$. CMR: $\frac{4a^{2}}{a-1}+\frac{5b^{2}}{b-1}+\frac{3c^{2}}{c-1}\geq 48$

 

117.Cho $a,b,c>0$. CMR $\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca$

 

118. Cho $x,y>0$ và $x+y=1$. CMR $P=\frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{xy}\geq 4+2\sqrt{3}$

Đã có tất trong đây

http://diendantoanho...1x2yzfrac1xy2z/

[Viet Hoang 99]

TOPIC yêu cầu bài nào đã làm xong được tô màu đỏ   

 

119) Cho tam giác $ABC$ có diện tích là $\frac{3}{2}$. CMR: $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}})\geq 3$

 

120) Cho $a;b;c>0$ thỏa $6(a^2+b^2+c^2)\geq 2011$. Tìm Min $A=\sum \frac{a^2}{b+c}$

 

121) Cho $a, b, c$ là ba số thực không đồng thời bằng 0, thoả mãn :$(a + b + c)^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2)$ . Tìm GTLN, GTNN của : $$P = \dfrac{a^3 + b^3 + c^3}{(a + b + c)(ab + bc + ca)}$$

 

122) cho hai số thực $x, y$ thoả mãn $x \ge 0, y \ge 1, x + y = 3$

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức $$P = x^3 + 2y^2 + 3x^2 + 4xy - 5x.$$

 

123) Cho $xy + z + zx = -1$ Chứng minh rằng :

$$x^2 + 2y^2 + 2z^2 \ge \dfrac{1 + \sqrt{17}}{2}$$

 

Ba bài 121;122;123 mình cũng chưa làm được, các bạn hãy giải quyết nhé   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 28-03-2014 - 18:13

[lahantaithe99]

TOPIC yêu cầu bài nào đã làm xong được tô màu đỏ   

 

119) Cho tam giác $ABC$ có diện tích là $\frac{3}{2}$. CMR: $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}})\geq 3$

 

 

 

 

119 Ta có 

 

$a.h_{a}=b.h_{b}=c.h_{c}=3\Rightarrow a=\frac{h_{a}}{3};b=\frac{h_{b}}{3};c=\frac{h_{c}}{3}$

 

Khi đó

 

$(\sum \frac{1}{a})(\sum\frac{1}{h_{a}} )=(\sum \frac{h_{a}}{3})(\sum \frac{1}{h_{a}})\geqslant (\frac{3}{\sqrt{3}})^2=3$

 

(đúng theo bđt Bunhiacopxki

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 24-03-2014 - 19:54

[lethanhson2703]

Bài 120:

Cho $x,y>0$ và $x+y=2$,. Tìm max $A=2xy(x^{2}+y^{2})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lethanhson2703: 24-03-2014 - 22:17

[lahantaithe99]

Bài 120:

Cho $x,y>0$ và $x+y=2$,. Tìm max $A=2xy(x^{2}+y^{2})$

 

Áp dụng bđt dạng $xy\leqslant \frac{(x+y)^2}{4}$ ta có

 

$2xy(x^2+y^2)\leqslant \frac{(2xy+x^2+y^2)^2}{4}=\frac{(x+y)^4}{4}=4$

 

P/s : bài nào xong thì nhớ tô đỏ theo quy định của box nhé 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 24-03-2014 - 22:07

[lethanhson2703]

Áp dụng bđt dạng $xy\leqslant \frac{(x+y)^2}{4}$ ta có

 

$2xy(x^2+y^2)\leqslant \frac{(2xy+x^2+y^2)^2}{4}=\frac{(x+y)^4}{4}=4$

 

P/s : bài nào xong thì nhớ tô đỏ theo quy định của box nhé 

chỗ đó hình như sai x²+y²     đâu?

[lahantaithe99]

chỗ đó hình như sai x²+y²     đâu?

Sai ở đâu ??????????????

Chẳng hiểu, em có thể chỉ rõ ra k

$x^2+y^2+2xy=(x+y)^2$ bình phương thêm lần nữa là mũ $4$

[synovn27]

121. Tìm $min$ của $\sum \frac{x^{4}}{(x^{2}+y^{2})(x+y)} với x+y+z=3$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 03-04-2014 - 11:41

[lahantaithe99]

$min của \sum \frac{x^{4}}{(x^{2}+y^{2})(x+y)} với x+y+z=3$ 

Áp dụng bđt Cô si

 

$\frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\frac{x^2+y^2}{4(x+y)}\geqslant \frac{x^2}{x+y}$

 

Thiết lập tương tự với các phân thức còn lại ta thu được

 

$\sum \frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\sum \frac{x^2+y^2}{4(x+y)}\geqslant \sum \frac{x^2}{x+y}$

 

$\sum \frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}\geqslant \sum \frac{x^2}{x+y}-\sum \frac{x^2+y^2}{4(x+y)}$

 

$=\frac{3}{4} \sum \frac{x^2}{x+y}-\sum \frac{y^2}{4(x+y)}=\frac{1}{2}\sum \frac{x^2}{x+y}+\frac{1}{4}\sum (\frac{x^2-y^2}{x+y})$

 

$=\frac{1}{2}\sum \frac{x^2}{x+y}+\frac{1}{4}\sum (x-y+y-z+z-x)=\frac{1}{2}\sum \frac{x^2}{x+y}$

 

Lịa có

 

$\frac{1}{2}\sum \frac{x^2}{x+y}\geqslant \frac{1}{2}.\frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}=\frac{3}{4}$

 

Do đó Min $\sum \frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}=\frac{3}{4}$

[angleofdarkness]

$min của \sum \frac{x^{4}}{(x^{2}+y^{2})(x+y)} với x+y+z=3$ 

 

 

Bài 120:

Cho $x,y>0$ và $x+y=2$,. Tìm max $A=2xy(x^{2}+y^{2})$

 

Đề nghị đăng đúng STT bài để tiện theo dõi,

[Kaito Kuroba]

122.    Cho $k\geq 0, a,b,c\geq 0$. CMR:

$\left ( \frac{a}{b+c} \right )^k+\left ( \frac{b}{a+c} \right )^k+\left ( \frac{c}{a+b} \right )^k\geq min \begin{Bmatrix} 2,\frac{3}{2} \end{Bmatrix}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kaito Kuroba: 25-03-2014 - 12:13

[buiminhhieu]

Áp dụng bđt Cô si

 

$\frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\frac{x^2+y^2}{4(x+y)}\geqslant \frac{x^2}{x+y}$

 

Thiết lập tương tự với các phân thức còn lại ta thu được

 

$\sum \frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\sum \frac{x^2+y^2}{4(x+y)}\geqslant \sum \frac{x^2}{x+y}$

 

$\sum \frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}\geqslant \sum \frac{x^2}{x+y}-\sum \frac{x^2+y^2}{4(x+y)}$

 

$=\frac{3}{4} \sum \frac{x^2}{x+y}-\sum \frac{y^2}{4(x+y)}=\frac{1}{2}\sum \frac{x^2}{x+y}+\frac{1}{4}\sum (\frac{x^2-y^2}{x+y})$

 

$=\frac{1}{2}\sum \frac{x^2}{x+y}+\frac{1}{4}\sum (x-y+y-z+z-x)=\frac{1}{2}\sum \frac{x^2}{x+y}$

 

Lịa có

 

$\frac{1}{2}\sum \frac{x^2}{x+y}\geqslant \frac{1}{2}.\frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}=\frac{3}{4}$

 

Do đó Min $\sum \frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}=\frac{3}{4}$

Cách này có vẻ ngắn hơn cách cậu

Xét $B=\sum \frac{y^{4}}{(x^{2}+y^{2})(x+y)}$

C/M $A=B\Leftrightarrow A-B=\sum \frac{x^{4}-y^{4}}{(x^{2}+y^{2})(x+y)}=\sum (x-y)=0$

Do đó $2A=A+B=\sum \frac{x^{4}+y^{4}}{(x^{2}+y^{2})(x+y)}\geq \sum \frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{2(x^{2}+y^{2})(x+y)}$

$\geq \frac{1}{2}\sum \frac{(x+y)^{2}}{2(x+y)}=\frac{x+y+z}{2}$$=\frac{3}{2}$

Nên $A\geq \frac{3}{4}$

[buiminhhieu]

121.    Cho $k\geq 0, a,b,c\geq 0$. CMR:

$\left ( \frac{a}{b+c} \right )^k+\left ( \frac{b}{a+c} \right )^k+\left ( \frac{c}{a+b} \right )^k\geq min \begin{Bmatrix} 2,\frac{3}{2} \end{Bmatrix}$

Cậu ơi $Min\left \{ \frac{3}{2};2 \right \}=\frac{3}{2}$ rồi!

[buiminhhieu]

122.    Cho $k\geq 0, a,b,c\geq 0$. CMR:

$\left ( \frac{a}{b+c} \right )^k+\left ( \frac{b}{a+c} \right )^k+\left ( \frac{c}{a+b} \right )^k\geq min \begin{Bmatrix} 2,\frac{3}{2} \end{Bmatrix}$

Cho $a=b=c;k=2$ sai nha!

Hình như C/m:$VT\geq \frac{3}{2^{k}}$

[Kaito Kuroba]

Cho $a=b=c;k=2$ sai nha!

Hình như C/m:$VT\geq \frac{3}{2^{k}}$

 

đề đúng mà, nếu là chứng minh $VT\geq \frac{3}{2^{k}}$ ai làm cũng được!

[buiminhhieu]

đề đúng mà, nếu là chứng minh $VT\geq \frac{3}{2^{k}}$ ai làm cũng được!

$a=b=c;k=2\Rightarrow VT=3.\frac{1}{2^{2}}=\frac{3}{4}\leq Min\left \{ 2;\frac{3}{2} \right \}$

[buiminhhieu]

P/s: câu này nhầm dấu C/m à

TOPIC yêu cầu bài nào đã làm xong được tô màu đỏ   

 

123) Cho $xy + z + zx = -1$ Chứng minh rằng :

$$x^2 + 2y^2 + 2z^2 \ge \dfrac{1 + \sqrt{17}}{2}$$

 

Ba bài xanh mình cũng chưa làm được, các bạn hãy giải quyết nhé   

Áp dụng BĐT $AM-GM$:

$\frac{x^{2}}{2}+\frac{9-\sqrt{17}}{4}.y^{2}\geq 2\left | xy \right |.\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{8}}$

$\frac{x^{2}}{2}+\frac{9-\sqrt{17}}{4}.z^{2}\geq 2\left | xz \right |.\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{8}}$

$\frac{\sqrt{17}-1}{4}.y^{2}+\frac{\sqrt{17}-1}{4}.z^{2}\geq 2\left | yz \right |.\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{8}}$

Cộng theo vế $VT\geq 2(\left | xy \right |+\left | yz \right |+\left | zx \right |).\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{8}}\geq 2.\left | xy+yz+zx \right |.\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{8}}=\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{2}}$

$=\frac{\sqrt{17}-1}{2}$

[lehoangphuc1820]

Áp dụng bđt dạng $xy\leqslant \frac{(x+y)^2}{4}$ ta có

 

$2xy(x^2+y^2) $ $\leqslant$  $\frac{(2xy+x^2+y^2)^2}{4}$ $=\frac{(x+y)^4}{4}=4$

 

P/s : bài nào xong thì nhớ tô đỏ theo quy định của box nhé 

Mình vẫn chưa hiểu chỗ này suy ra từ đâu

[lahantaithe99]

Mình vẫn chưa hiểu chỗ này suy ra từ đâu

Ta có bdt quen thuộc $ab\leqslant \frac{(a+b)^2}{4}$

Trong bài này $2xy$ đóng vai trò là $a$ còn $x^2+y^2$ đóng vai trò là $b$