Sai đề chỗ màu đỏ Phải là $\leq 10$
142 Cho a, b, c thuộc [1,2]
Chứng minh $\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq 10$
p/s: mình không biết bài 142 có hay chưa vì mình tìm k thấy.nếu có rồi thì nhắc mình nhé
Giả sử $a\geq b\geq c$
Ta có $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq 10\Leftrightarrow \sum \frac{a}{b}\leq 7$
$a\geq b\geq c$ Khi đó $(a-b)(b-c)\geq 0\Leftrightarrow ab+bc\geq b^{2}+ac\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1+\frac{c}{a}\geq \frac{b}{a}+\frac{c}{b} & \\ 1+ \frac{a}{c}\geq \frac{b}{c}+\frac{a}{b}& \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow$$2(1+\frac{a}{c}+\frac{c}{a})\geq \sum \frac{a}{b}$ Đặt $\frac{a}{c}=x\Rightarrow 1\leq x\leq 2$
Ta đi c/m $x+\frac{1}{x}\leq \frac{5}{2}$
C/m: Ta có $1\leq x\leq 2\Rightarrow (x-1)(2-x)\geq 0\Rightarrow x^{2}+2\leq 3x\Rightarrow x+\frac{2}{x}\leq 3;x\leq 2\Rightarrow 3\geq x+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\geq x+\frac{1}{x}+\frac{1}{2}$
$\Rightarrow x+\frac{1}{x}\leq \frac{5}{2}$
QED