742 replies to this topic

[Viet Hoang 99]

157, Cho $x,y,z> 0$ thoả mãn $xyz=1$

Tìm GTLN của $M=\frac{1}{1+x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{1+y^{3}+z^{3}}+\frac{1}{1+z^{3}+x^{3}}$

158, $CMR$ với $a,b,c> 0$ ta có BDT $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{6abc}$

157. (Hình như có bài này rồi)
Có: $x^3+y^3\geq xy(x+y)$

$M=\sum \frac{1}{x^3+y^3+xyz}\leq \sum \frac{1}{xy(x+y)+xyz}=\sum \frac{1}{xy(x+y+z)}=\frac{x+y+z}{xyz(x+y+z)}=1$

Dấu = có khi: $x=y=z=1$

[Trang Luong]

Bài 156: Cho biểu thức $P=(\frac{x+2}{x\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}).\frac{4\sqrt{x}}{3}$ với $x\geq 0$.

Tìm max và min của P

P/s: Đây, mình còn một đống bài tập chưa có lời giải đây! Mệt     

Đặt $a=\sqrt{x}$ $a\geq 0$

Ta có:

+)P=$(\frac{a^{2}+2}{a^{3}+1}-\frac{1}{a+1}).\frac{4a}{3}$

$= (\frac{a^{2}+2}{a^{3}+1}-\frac{a^{2}-a+1}{a^{3}+1}).\frac{4a}{3}$

$= \frac{a+1}{a^{3}+1}.\frac{4a}{3}$

$= \frac{4a}{3(a^{2}-a+1)}$

Vì $a\geq 0;a^{2}-a+1>0$ nên min $P=0\Leftrightarrow x=0$

+) P max khi x>0 và $\frac{1}{P}$ min

$\frac{1}{P}= \frac{3a^{2}-3a+3}{4a}$

$= (a-1+\frac{1}{a}).\frac{3}{4}$

$= (\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}})^{2}.\frac{3}{4}+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}$

$\Rightarrow P\leq \frac{4}{3}$$\Leftrightarrow x=1$

[hoctrocuanewton]

 

158, $CMR$ với $a,b,c> 0$ ta có BDT $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{6abc}$

$BĐT\Leftrightarrow (a+b+c)^{2}\geqslant \sum \frac{6abc}{a+b}$

áp dụng bđt schwars ta có :

$\sum \frac{6abc}{a+b}\leqslant \frac{3}{2}\sum (bc+ac)= 3(ab+ac+bc)(1)$

ta lại có

$(a+b+c)^{2}\geqslant 3(ab+bc+ac)(2)$

nên từ (1) và (2) ta được đpcm

Edited by hoctrocuanewton, 08-04-2014 - 12:41.

[BoY LAnH LuNg]

159, Cho a, b, c thoả mãn  $a+b+c=abc$

CM: $a(b^{2}-1)(c^{2}-1)+b(a^{2}-1(c^{2}-1))+c(a^{2}-1)(b^{2}-1)=4abc$

160, Cm với mọi số nguyên x thì 

$A=1985.\frac{x^{3}}{3}+1977.\frac{x^{2}}{2}+5.\frac{x}{6}$ là số nguyên

[BoY LAnH LuNg]

161, Cm BDT $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}}$

Edited by Viet Hoang 99, 07-04-2014 - 18:18.

[ILOVETIEN]

162, cho 3 số thực a, b, c thoả mãn $a+b+c\leq 3$

Tìm GTLN của $P=\sum \frac{a+1+a .\sqrt{a^{2}+1}}{\sqrt{a^{2}+1}}$

Edited by Viet Hoang 99, 07-04-2014 - 18:18.

[BoY LAnH LuNg]

162, cho 3 số thực a, b, c thoả mãn $a+b+c\leq 3$

Tìm GTLN của $P=\sum \frac{a+1+a .\sqrt{a^{2}+1}}{\sqrt{a^{2}+1}}$

$P=\frac{a+1}{\sqrt{a^{2}+1}}+\frac{b+1}{\sqrt{b^{2}+1}}+\frac{c+1}{\sqrt{c^{2}+1}}+a+b+c$

Mà $\frac{a+1}{\sqrt{a^{2}+1}}\leq \sqrt{2}$

$\frac{b+1}{\sqrt{b^{2}+1}}\leq \sqrt{2}$

$\frac{c+1}{\sqrt{c^{2}+1}}\leq \sqrt{2}$

$a+b+c\leq 3$

nên $P\leq 3\sqrt{2}+3$

Dấu = xẩy ra khi $a=b=c=1$

Edited by BoY LAnH LuNg, 07-04-2014 - 18:23.

[THCSCXH8C]

163, CMR với a, b, c thuộc R

$\sqrt{a^{2}+b^{2}+4c^{2}+4ac}+\sqrt{a^{2}+b^{2}+4c^{2}-4ac}\geq 2\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

[THCSCXH8C]

164, Cho $a,b,c\geq 0$ thoả mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

CMR $\frac{2a+c}{1+bc}+\frac{2b+c}{1+ca}+\frac{a+b+c}{1+\sqrt{2}abc}\leq 3\sqrt{2}$

[buiminhhieu]

161, Cm BDT $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}}$

Đây là BĐT $Mincopxki$ dạng cơ bản(BĐT tam giác trong quyển 1001 bài 419 cũng có đấy)

[BoY LAnH LuNg]

164, Cho $a,b,c\geq 0$ thoả mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

CMR $\frac{2a+c}{1+bc}+\frac{2b+c}{1+ca}+\frac{a+b+c}{1+\sqrt{2}abc}\leq 3\sqrt{2}$

ta cần cm $\frac{2a+c}{1+bc}+\frac{2b+c}{1+ca}\leq 2\sqrt{2}$  và  $\frac{a+b+c}{1+\sqrt{2}abc}\leq \sqrt{2}$

ta có * $\frac{2a+c}{1+bc}\leq \frac{8a+4c}{2\sqrt{2}(a+b+c)}$

TT $\frac{2b+c}{1+ca}\leq \frac{8b+4c}{2\sqrt{2}(a+b+c)}$

cộng theo vế có đpcm

* $\frac{a+b+c}{1+\sqrt{2}abc}\leq 2 \Leftrightarrow a+b+c-2abc\leq \sqrt{2}$

 

$a+b+c-2abc=a(1-2bc)+(b+c)$

áp dụng bdt bunhiacopxki ta có $a+b+c-2abc=a(1-2bc)+(b+c)\leq \sqrt{[a^{2}+(b+c)^{2}].[(1-2bc)^{2}+1]}=\sqrt{(1+2ab)(2-4ab+4a^{2}b^{2})}$

do đó ta cần cm $\sqrt{(1+2ab)(2-4ab+4a^{2}b^{2})}\leq 2\Leftrightarrow 8a^{3}b^{3}-4a^{2}b^{2}\leq 0\Leftrightarrow ab\leq \frac{1}{2}$

BDT này luôn đúng do $ab\leq \frac{a^{2}+b^{2}}{2}\leq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}=\frac{1}{2}$

suy ra dpcm

[nguyenhongsonk612]

155

$\frac{4}{2(a+3b)}+\frac{1}{b+3c}+\frac{16}{4(c+3a)}\geq \frac{49}{14a+2b+2c}$

thiết lập các bđt tương tự ta có đpcm

Mình lại nghĩ ra cách này có vẻ hay hơn cậu (Ý kiến riêng):

$\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{2c+a+b}\geq \frac{4}{2a+4b+2c}= \frac{2}{a+2b+c}$

$\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{2a+b+c}\geq \frac{4}{2b+4c+2a}= \frac{2}{a+2c+b}$

$\frac{1}{c+3a}+\frac{1}{2b+c+a}\geq \frac{4}{2b+4a+2c}= \frac{2}{b+2a+c}$

Cộng các BĐT trên lại theo vế ta có đpcm.

[buiminhhieu]

163, CMR với a, b, c thuộc R

$\sqrt{a^{2}+b^{2}+4c^{2}+4ac}+\sqrt{a^{2}+b^{2}+4c^{2}-4ac}\geq 2\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

Áp dụng BĐT $\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{z^{2}+t^{2}}\geq \sqrt{(x+z)^{2}+(y+t)^{2}}$

Bài 161 

 

161, Cm BDT $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}}$

Ta có :

BĐT $\Leftrightarrow \sqrt{(a-2c)^{2}+b^{2}}+\sqrt{(a+2c)^{2}+b^{2}}\geq \sqrt{(2a)^{2}+(2b)^{2}}=2\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

[hoangmanhquan]

Bài 165:

Cho các số thực $a,b,c$ thuộc khoảng $(0;1)$ thoả mãn $abc=(1-a)(1-b)(1-c)$.

Chứng minh rằng: $a^2+b^2+c^2\geq \frac{3}{4}$

 

P/s: Mình thấy bài này cũng khá hay, hình như giống đề thi thử đại học năm nay của tỉnh Vĩnh Phúc thì phải. Mọi người làm thử xem sao nhé!

[lahantaithe99]

 

Bài 151: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR:

$\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{c+a}{b+ca}}\geq 3$

 

151

Áp dụng BĐT Cô si

 

$\sum \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geqslant 3.\sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(c+ab)(b+ca)(a+bc)}}$ $(1)$

 

Ta có $(a+bc)(b+ac)\leqslant (\frac{a+bc+b+ac}{2})^2=\frac{(a+b)^2(c+1)^2}{4}$

 

CMTT và rút gọn thì $(a+bc)(b+ac)(c+ab)\leqslant \frac{(a+b)(b+c)(c+a)(a+1)(b+1)(c+1)}{8}$

 

Mà $\frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{8}\leqslant \frac{(a+b+c+3)^3}{27.8}=1$

 

suy ra $(a+bc)(b+ac)(c+ab)\leqslant (a+b)(b+c)(c+a)(2)$

 

Kết hợp $(1)$ và $(2)$ ta có đpcm

Edited by lahantaithe99, 08-04-2014 - 17:12.

[nguyenhongsonk612]

151

Áp dụng BĐT Cô si

 

$\sum \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geqslant 3.\sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(c+ab)(b+ca)(a+bc)}}$ $(1)$

 

Ta có $(a+bc)(b+ac)\leqslant (\frac{a+bc+b+ac}{2})^2=\frac{(a+b)(c+1)}{4}$

 

CMTT và rút gọn thì $(a+bc)(b+ac)(c+ab)\leqslant \frac{(a+b)(b+c)(c+a)(a+1)(b+1)(c+1)}{8}$

 

Mà $\frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{8}\leqslant \frac{(a+b+c+3)^3}{27.8}=1$

 

suy ra $(a+bc)(b+ac)(c+ab)\leqslant (a+b)(b+c)(c+a)(2)$

 

Kết hợp $(1)$ và $(2)$ ta có đpcm

Lahan ơi, mình tưởng chỗ màu đỏ kia phải là $(a+b)^2(c+1)^2$

[lahantaithe99]

Bài 150: CMR với mọi số thực dương $a,b,c$ ta luôn có:

$\sqrt{\frac{a^2+2b^2}{a^2+ab+bc}}+\sqrt{\frac{b^2+2c^2}{b^2+bc+ca}}+\sqrt{\frac{c^2+2a^2}{c^2+ca+ab}}\geq 3$

 

150

 

Áp dụng BĐT Cô si

 

$\sum \sqrt{\frac{a^2+2b^2}{a^2+ab+bc}}\geqslant 3\sqrt[6]{\frac{(a^2+2b^2)(b^2+2c^2)(c^2+2a^2)}{(a^2+ab+bc)(b^2+bc+ac)(c^2+ac+ab)}}$ $(1)$

 

Theo BĐT Bunhiacopxki

 

$(a^2+b^2+b^2)(a^2+c^2+a^2)\geqslant (a^2+ab+bc)^2$

 

Thiết lập tương tự với các số còn lại và rút gọn ta có

 

$(a+2b^2)(b^2+2c^2)(c^2+2a^2)\geqslant (a^2+bc+ab)(b^2+bc+ac)(c^2+ac+ab)$ $(2)$ 

 

Kết hợp $(1)$ với $(2)$ ta có đpcm

[lahantaithe99]

Lahan ơi, mình tưởng chỗ màu đỏ kia phải là $(a+b)^2(c+1)^2$

Ừ, sorry bạn

[BoY LAnH LuNg]

Bài 165:

Cho các số thực $a,b,c$ thuộc khoảng $(0;1)$ thoả mãn $abc=(1-a)(1-b)(1-c)$.

Chứng minh rằng: $a^2+b^2+c^2\geq \frac{3}{4}$

 

P/s: Mình thấy bài này cũng khá hay, hình như giống đề thi thử đại học năm nay của tỉnh Vĩnh Phúc thì phải. Mọi người làm thử xem sao nhé!

$abc=(1-a)(1-b)(1-c)\Rightarrow abc=1-(a+b+c)+ab+bc+ca-abc$

$\Rightarrow 2abc=1-(a+b+c)+ab+bc+ca(1)$

Lại có $abc=(1-a)(1-b)(1-c)$ và $a,b,c\epsilon (0,1)$

$\Rightarrow 1=(\frac{1}{a}-1)(\frac{1}{b}-1)(\frac{1}{c}-1)$

áp dụng bdt côsi

$(\frac{1}{a}-1)+(\frac{1}{b}-1)+(\frac{1}{c}-1)\geq 3\sqrt[3]{(\frac{1}{a}-1)(\frac{1}{b}-1)(\frac{1}{c}-1)}$

$(\frac{1}{a}-1)+(\frac{1}{b}-1)+(\frac{1}{c}-1)\geq 3$

$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 6$

$\Rightarrow ab+bc+ca\geq 6abc$(2)

$(1)(2)\Rightarrow ab+bc+ca\geq 3-3(a+b+c)+3(ab+bc+ca)$

$\Rightarrow 0\geq 3-(a+b+c)+2(ab+bc+ca)$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a+b+c)^{2}-3(a+b+c)+3$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq (x+y+z-\frac{3}{2})^{2}+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}$

suy ra dpcm

[ILOVETIEN]

166, Cho $a,b$ là các số thực dương thoả $a+b=1$

 

CMR: $\frac{1}{ab}+\frac{3}{a^2+b^2+ab}\geq 8$

Edited by Viet Hoang 99, 08-04-2014 - 19:09.