Học Bdt không giỏi nhưng cũng có nhiều bài hay
145.Cho a,b,c>0 CMR
$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}+a+b+c\geq 2\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})}$
Học Bdt không giỏi nhưng cũng có nhiều bài hay
145.Cho a,b,c>0 CMR
$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}+a+b+c\geq 2\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})}$
-Học từ ngày hôm qua, sống ngày hôm nay, hi vọng cho ngày mai. Điều quan trọng nhất là không ngừng đặt câu hỏi.
-Albert Einstein
Học Bdt không giỏi nhưng cũng có nhiều bài hay
145.Cho a,b,c>0 CMR
$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}+a+b+c\geq 2\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})}$
Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có
$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+a+b+c\geqslant 2\sqrt{(a+b+c)(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})}$
Giờ ta cần chứng minh
$(a+b+c)(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})\geqslant (a^2+b^2+c^2)(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\sum \frac{ab^2}{c}\geqslant ab+bc+ac+\sum \frac{a^2b}{c}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{c(a-b)(a-c)}{b}\geqslant 0$ (cái này đúng theo BĐT S. Chur)
Vậy ta có đpcm
Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có
$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+a+b+c\geqslant 2\sqrt{(a+b+c)(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})}$
Giờ ta cần chứng minh
$(a+b+c)(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})\geqslant (a^2+b^2+c^2)(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\sum \frac{ab^2}{c}\geqslant ab+bc+ac+\sum \frac{a^2b}{c}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{c(a-b)(a-c)}{b}\geqslant 0$ (cái này đúng theo BĐT S. Chur)
Vậy ta có đpcm
C2.
Chọn a sao cho $Max(a,b,c)\geq a\geq Min(a,b,c)$ (dòng này suy ra cuối cùng nhưng viết ở đầu)
Áp dụng bdt cauchy cho 2 số dương
$2\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})}= 2\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a}.[a.(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})]}\leq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a}+\frac{a^{2}}{b}+\frac{ab}{c}+c$
$= a+\frac{b^{2}}{a}+\frac{c^{2}}{a}+\frac{a^{2}}{b}+\frac{ab}{c}+c$
Ta có đpcm nếu cm được
$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}+a+b+c\geq a+\frac{b^{2}}{a}+\frac{c^{2}}{a}+\frac{a^{2}}{b}+\frac{ab}{c}+c$
$\Leftrightarrow \frac{b^{2}}{c}+b\geq \frac{b^{2}}{a}+\frac{ab}{c}$
$\Leftrightarrow ab+ac\geq bc+a^{2}$
$\Leftrightarrow (a-b)(a-c)\leq 0$
Đúng với cách chọn a ban đầu ta có đpcm
-Học từ ngày hôm qua, sống ngày hôm nay, hi vọng cho ngày mai. Điều quan trọng nhất là không ngừng đặt câu hỏi.
-Albert Einstein
146
a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác CMR
$(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)^{2}\geq abc(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
-Học từ ngày hôm qua, sống ngày hôm nay, hi vọng cho ngày mai. Điều quan trọng nhất là không ngừng đặt câu hỏi.
-Albert Einstein
146
a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác CMR
$(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)^{2}\geq abc(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có
$(a^2b+b^2c+c^2a)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geqslant (a+b+c)^2$
$\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a\geqslant \frac{abc(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}$
$\Leftrightarrow (a^2b+b^2c+c^2a)^2\geqslant \frac{abc(a+b+c)^2(a^2b+b^2c+c^2a)}{ab+bc+ac}$
Để kết thúc bài toán ta cần chứng minh
$(a+b+c)(a^2b+b^2c+c^2a)\geqslant (ab+bc+ac)(a^2+b^2+c^2)$
$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geqslant abc(a+b+c)$ (BĐT này đúng theo $AM-GM$)
147: Cho $a,b,c \in [0;2]$ và $a+b+c=3$. CMR: $a^2+b^2+c^2\leq 5$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 18-04-2014 - 22:49
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
147: Cho $a,b,c \in [0;2]$ và $a+b+c=3$. CMR: $a^2+b^2+c^2\leq 5$
Xét tích : $(2-a)(2-b)(2-c)\leq 0$ <=> $abc-2(ab+ac+bc)\geq -4$
Lại có : $(a+b+c)^{2}= a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ac)=9$
Cộng vế ta có : $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\geq 5$
Mà abc $\geq$ 0 -> đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi firetiger05: 18-04-2014 - 23:21
Học! Học nữa! Học mãi
Yêu Toán Nồng Cháy
Quyết đậu chuyên Tin Lam Sơn
147: Cho $a,b,c \in [0;2]$ và $a+b+c=3$. CMR: $a^2+b^2+c^2\leq 5$
1 cách khác
$a+b+c=3\Rightarrow a-1+b-1+c-1=0$
Đặt a-1=x b-1= y c-1=z
Ta có x+y+z=0
x,y,z thuộc [-1;1]
Ta có
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=(x+1)^{2}+(y+1)^{2}+\left ( z+1 \right )^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+3$
Mặt khác x+y+z=0 suy ra tồn tại 2 số dương hoặc 2 số âm g/s 2 số đó là x và y
$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq \left | x \right |+\left | y \right |+\left | z \right |=\left | x+y \right |+\left | z \right |=2\left | z \right |\leq 2$
$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+3\leq 5$
đpcm
(có thể sd cách này để cm bài bdt trong kì thi hsg tp hà nội)
Chú ý: Trích dẫn đề bài ra?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi einstein627: 19-04-2014 - 22:16
-Học từ ngày hôm qua, sống ngày hôm nay, hi vọng cho ngày mai. Điều quan trọng nhất là không ngừng đặt câu hỏi.
-Albert Einstein
Xét tích : $(2-a)(2-b)(2-c)\leq 0$ <=> $abc-2(ab+ac+bc)\geq -4$
Lại có : $(a+b+c)^{2}= a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ac)=9$
Cộng vế ta có : $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\geq 5$
Mà abc $\geq$ 0 -> đpcm
$a^2+b^2+c^2+abc\geqslant 5$ mà $abc\geqslant 0$ thì không thể suy ra $a^2+b^2+c^2\leqslant 5$ được
$a^2+b^2+c^2+abc\geqslant 5$ mà $abc\geqslant 0$ thì không thể suy ra $a^2+b^2+c^2\leqslant 5$ được
Lahan ơi, có phải như thế này không?
Giải:
Xét tích $(2-a)(2-b)(2-c)\geq 0\Leftrightarrow 8-4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)-abc\geq 0\Leftrightarrow -4+2(ab+bc+ca)\geq abc\geq 0\Rightarrow -2(ab+bc+ca)\leq -4$
Có: $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)\leq 9-4=5$. Đây là đpcm
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
Bài 148:
Cho $x,y,z>1$ thỏa $xy+yz+zx+xyz=20$. CM BĐT:
$\frac{3}{x+y+z-3}\geq (x-1)(y-1)(z-1)$
Bài 149:
Cho $x,y,z>0$ thỏa $x+y+z=9$. Tìm GTLN của:
$A=\sum \frac{xy}{\sqrt{xy+2z}}$
P/s: có lẽ bài 149 đã có trên diễn đàn, nhưng hình như chưa ai giải được thì phải. Mình đăng lên để mọi người cùng thảo luận. Nếu đã có bạn đăng rồi thì thôi!
6)Xét hiệu: $(a^{4}+b^{4}).2-(a^{3}+b^{3})(a+b)
Biến đổi tương đương
=> $(a-b)^{2}(a^{2}+ab+b^{2})\geq 0\forall a;b$$\Leftrightarrow 2(a^{4}+b^{4})\geq (a^{3}+b^{3})(a+b)$
Mà $GT\Rightarrow (a+b)(a^{4}+b^{4})\geq 2(a^{4}+b^{4})$
$\Rightarrow (a^{4}+b^{4})(a+b)\geq (a^{3}+b^{3})(a+b)$
=>đpcm.
7)$PT\Leftrightarrow 1<\sqrt{a^{2}+a}-\sqrt{a^{2}-a}$
$\Leftrightarrow a+\sqrt{a^{2}-a}<\sqrt{a^{2}+a}$
$\Leftrightarrow a^{2}-a+1+2\sqrt{a^{2}-a}<a^{2}+a$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{a^{2}-a}<2a-1\Leftrightarrow 4a^{2}-4a<4a^{2}-4a+1\Leftrightarrow 0<1$ (luôn đúng)
8)
$PT\Leftrightarrow (a-bc)^{2}+(b-ca)^{2}+(c-ab)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)10) Nhân cả 2 vế của bất đẳng thức với 4 thu gọn được:
$(a-2b)^{2}+(a-2d)^{2}+(a-2c)^{2}+(a-2e)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)
bạn ơi câu 7 từ b1 đến b2 ntn z hình như điều kiện là a>1 mà
Bài 149:
Cho $x,y,z>0$ thỏa $x+y+z=9$. Tìm GTLN của:
$A=\sum \frac{xy}{\sqrt{xy+2z}}$
P/s: có lẽ bài 149 đã có trên diễn đàn, nhưng hình như chưa ai giải được thì phải. Mình đăng lên để mọi người cùng thảo luận. Nếu đã có bạn đăng rồi thì thôi!
Mình nghĩ là x+y+z = 2 chứ nhỉ?
Thay x+y+z=2 vào ta có:
VT = $\sum \frac{xy}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}\leq \sum \frac{1}{2}(\frac{xy}{z+x}+\frac{xy}{z+y})(BĐT phụ ab\leq \frac{a^{2}+b^{2}}{2})=\frac{1}{2}(x+y+z)=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi firetiger05: 20-04-2014 - 20:43
Học! Học nữa! Học mãi
Yêu Toán Nồng Cháy
Quyết đậu chuyên Tin Lam Sơn
Đóng góp 2 bài vậy !!
Bài 150 : Cho $a;b;c$ là các số thực dương. Tìm $GTNN$ của :
$$Q=\sum \sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}+\sum \sqrt{\frac{b+c}{a}}$$
Bài 151 : Cho : $x+y+z=3$; $0\leq x;y;z\leq 2$. Tìm $GTNN;GTLN$ của :
$$A=x^{4}+y^{4}+z^{4}+12(1-x)(1-y)(1-z)$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 07-06-2014 - 10:40
$\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $
$\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$
Bài 151 : Cho : $x+y+z=3$; $0\leq x;y;z\leq 2$. Tìm $GTNN;GTLN$ của :
$$A=x^{4}+y^{4}+z^{4}+12(1-x)(1-y)(1-z)$$
$151/$
Thấy 1 bài dùng pp của bài 147 chém luôn
Đặt x-1=a
y-1=b
z-1=c
Từ giả thiết ta có a+b+c=0 a,b,c$\epsilon$ [-1;1]
A=$(a+1)^{4}+(b+1)^{4}+(c+1)^{4}-12abc$
$=a^{4}+b^{4}+c^{4}+4(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc)+4(a+b+c)$ $+6(a^{2}+b^{2}+c^{2})+3$
Mặt khác $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$
a+b+c=0
Nên
A=$a^{4}+b^{4}+c^{4}$ $+6(a^{2}+b^{2}+c^{2})+3$
Đến đây giải tương tự bài 147
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 07-06-2014 - 10:40
-Học từ ngày hôm qua, sống ngày hôm nay, hi vọng cho ngày mai. Điều quan trọng nhất là không ngừng đặt câu hỏi.
-Albert Einstein
Đóng góp 2 bài vậy !!
Bài 150 : Cho $a;b;c$ là các số thực dương. Tìm $GTNN$ của :
$$Q=\sum \sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}+\sum \sqrt{\frac{b+c}{a}}$$
Bài này nhìn số má trâu bò quá!
$150/$
Áp dụng BĐT Cauchy ta có
$Q\geqslant 3\left [ \sqrt[12]{\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}} +\sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}}\right ]$
$=3\left [ \sqrt[12]{\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}+\frac{1}{\sqrt[4]{8}}.\sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}} \right ]+3(1-\frac{1}{\sqrt[4]{8}})\sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}}$
Cô si cho biểu thức thứ nhất
Biếu thức $(1)$ $\geqslant 2\sqrt[24]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{512abc}}\geqslant 2.\sqrt[24]{\frac{1}{64}}=2.\sqrt[4]{\frac{1}{2}}$
Biểu thức $(2)$ $(1-\frac{1}{\sqrt[4]{8}})\sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}}\geqslant (1-\frac{1}{\sqrt[4]{8}})\sqrt[6]{8}=\sqrt{2}-\sqrt[4]{\frac{1}{2}}$
Cộng vế suy ra $Q\geqslant 3(\sqrt[4]{\frac{1}{2}}+\sqrt{2})$
P/s: bài này cồng kềnh tốn bao nhiêu t/g, mà lại còn k biết có đúng k nữa
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 07-06-2014 - 10:40
Bài 152.
Cho các số a,b,c dương có tích $abc=1$.
Chứng minh rằng:
$\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\leq \frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 26-04-2014 - 17:48
Bài 153:
Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa $a+b+c=3$. Tìm GTLN của:
$S=(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 26-04-2014 - 17:47
Bài 154: Cho a,b,c >0 thỏa mãn : a+b+c=3
Chứng minh: $\sum \frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\leq 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 26-04-2014 - 17:43
Học! Học nữa! Học mãi
Yêu Toán Nồng Cháy
Quyết đậu chuyên Tin Lam Sơn
Bài 154: Cho a,b,c >0 thỏa mãn : a+b+c=3
Chứng minh: $\sum \frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\leq 1$
Bài này hình như có trên diễn đàn rồi thì phải!
Ta có: $\sum \frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}= \sum \frac{x}{x+\sqrt{(x+y+z)x+yz}}= \sum \frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}\leq \sum \frac{x}{x+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}= \sum \frac{\sqrt{x}}{\sum \sqrt{x}}=1$ (Áp dụng BĐT Bunhiacopski)
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh