Chủ đề này có 742 trả lời

[Hoang Tung 126]

Bài 27:Theo Bunhiacopxki có:$\sum \sqrt{a^2+b^2}\geq \sum \frac{a+b}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.\sum a$

[Hoang Tung 126]

Bài 28:Ta có:$\sum \sqrt[3]{a^3+b^3}\geq \sum \frac{a+b}{\sqrt[3]{4}}=\sqrt[3]{2}\sum a$

[Hoang Tung 126]

Bài 29:Áp dụng bđt $x^4+y^4\geq \frac{(x+y)^4}{8}$

$= > \sum \sqrt[4]{a^4+b^4}\geq \sum \sqrt[4]{\frac{(a+b)^4}{8}}=\sum \frac{a+b}{\sqrt[4]{8}}=\sqrt[4]{2}\sum a$

[Hoang Tung 126]

Bài 30:Áp dụng bđt $x^5+y^5\geq \frac{(x+y)^5}{16}$

$= > \sum \sqrt[5]{a^5+b^5}\geq \sum \sqrt[5]{\frac{(a+b)^5}{16}}=\sum \frac{a+b}{\sqrt[5]{16}}=\sqrt[5]{2}\sum a$

[Viet Hoang 99]

29) Cho $a;b;c\geq 0$. Cmr: $\sum \sqrt[4]{a^4+b^4}\geq \sqrt[4]{2}.\sum a$

 

 

Bài 29:Áp dụng bđt $x^4+y^4\geq \frac{(x+y)^4}{8}$

$= > \sum \sqrt[4]{a^4+b^4}\geq \sum \sqrt[4]{\frac{(a+b)^4}{8}}=\sum \frac{a+b}{\sqrt[4]{8}}=\sqrt[4]{2}\sum a$

29)

Làm rõ:

$x^4+y^4\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{2}\geq \frac{\frac{(x+y)^4}{4}}{2}=\frac{(x+y)^4}{8}$

 

 

 

 

 

30) Cho $a;b;c\geq 0$. Cmr: $\sum \sqrt[5]{a^5+b^5}\geq \sqrt[5]{2}.\sum a$

 

 

 

 

Bài 30:Áp dụng bđt $x^5+y^5\geq \frac{(x+y)^5}{16}$

$= > \sum \sqrt[5]{a^5+b^5}\geq \sum \sqrt[5]{\frac{(a+b)^5}{16}}=\sum \frac{a+b}{\sqrt[5]{16}}=\sqrt[5]{2}\sum a$

 

 

 

30)
Chưa biết làm rõ thế nào Hình như biến đổi tương đương và cô-si, anh làm đi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 09-02-2014 - 09:59

[Kaito Kuroba]

 

Tổng quát:
31) Cho $a;b;c\geq 0$. Cmr: $\sum \sqrt[n]{a^n+b^n}\geq \sqrt[n]{2}.\sum a$

 

 

 

 

 

ta có: $x+y\leq \sqrt[n]{2^{n-1}(x^n+y^n)} $bạn dễ dàng chứng minh được với mọi x;y>0

 

áp dụng ta được:

 

 

$\sum \sqrt[n]{a^n+b^n}\geq\frac{2}{\sqrt[n]{2^{n-1}}(a+b+c)}=\sqrt[n]{2}(\sum a)$

 

 

$"="\Leftrightarrow a=b=c>0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kaito Kuroba: 09-02-2014 - 10:27

[Kaito Kuroba]

 

30) Cho $a;b;c\geq 0$. Cmr: $\sum \sqrt[5]{a^5+b^5}\geq \sqrt[5]{2}.\sum a$

 

 

 

ta có: $x^5+y^5\geq x^2y^2(x+y)$

 

ta được: $\sum \sqrt[5]{a^5+b^5}\geq \frac{1}{\sqrt[5]{16}}\sum \sqrt[5]{a^5+b^5+5ab(a^3+b^3)+10a^2b^2(a+b)}=\frac{1}{\sqrt[5]{16}}\sum \sqrt[5]{(a+b)^5}=\sqrt[5]{2}(a+b+c)$

 

$"="\Leftrightarrow a=b=c>0$

[Viet Hoang 99]

Giờ sẽ là BĐT và Cực Trị nhé.

1) (BĐT Schur)

Cmr: $\sum a^3+3abc\geq \sum ab(a+b)$

2) Tìm Min; Max của $A=xy$ biết $x;y$ nguyên dương và $x+y=2005$.

3) Tìm Min $A=|11^m-5^n|$ với $m;n$ nguyên dương.

4) Cho $x;y;z;t$ dương thỏa $x+y+z+t=2$

Tìm Min $A=\frac{(x+y+z)(x+y)}{xyzt}$

5) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq 2$

6) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}\geq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 09-02-2014 - 14:17

[hoangmanhquan]

Giờ sẽ là BĐT và Cực Trị nhé.

5) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq 2$

Ta có:

$\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}=\sum \frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}\geq \sum\frac{2a}{a+b+c}=2$

 

Dấu "=" xảy ra <=> $a=b=c=0$ => vô lí

Vậy

$\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}>2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangmanhquan: 09-02-2014 - 13:34

[Hoang Tung 126]

Giờ sẽ là BĐT và Cực Trị nhé.

1) (BĐT Schur)

Cmr: $\sum a^3+3abc\geq \sum ab(a+b)$

2) Tìm Min; Max của $A=xy$ biết $x;y$ nguyên dương và $x+y=2005$.

3) Tìm Min $A=|11^m-5^n|$ với $m;n$ nguyên dương.

4) Cho $x;y;z;t$ dương thỏa $x+y+z+t=2$

Tìm Min $A=\frac{(x+y+z)(x+y)}{xyzt}$

5) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq 2$

6) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}$

Bài 1:BĐT $< = > x(x-y)(x-z)+y(y-z)(y-x)+z(z-x)(z-y)\geq 0$

Không mất tổng quát giả sử $x\leq y\leq z= > z(z-x)(z-y)\geq 0$

Do đó ta cần CM :$y(y-z)(y-x)+x(x-z)(x-y)\geq 0< = > (x-y)(x^2-xz-y^2+yz)\geq 0< = > (x-y)((x-y)(y+x)-z(x-y))\geq 0< = > (x-y)^2(x+y-z)\geq 0$(Luôn đúng do $x\geq y\geq z$)

[Hoang Tung 126]

Bài 4:Theo AM-GM có:$A=\frac{(x+y+z)(x+y)}{xyzt}=\frac{(x+y+z+t)^2(x+y+z)(x+y)}{4xyzt}\geq \frac{4t(x+y+z).(x+y+z)(x+y)}{xyzt}=\frac{4t(x+y+z)^2(x+y)}{xyzt}\geq \frac{4t.4z(x+y).(x+y)}{xyzt}=\frac{16tz(x+y)^2}{xyzt}\geq \frac{16tz.4xy}{xyzt}=64= > P\geq 64$

[Hoang Tung 126]

Bài 5:Theo AM-GM có:$\sum \sqrt{\frac{b+c}{a}.1}\leq \frac{1}{2}\sum (\frac{b+c}{a}+1)=\frac{1}{2}\sum \frac{a+b+c}{a}= > \sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2\sum a}{\sum a}=2$

 Dấu = xảy ra tại a=0,b=c

[angleofdarkness]

1) (BĐT Schur)

Cmr: $\sum a^3+3abc\geq \sum ab(a+b)$

 

 

Đây là BĐT Schur bậc 3, có nhiều cách c/m BĐT này nhưng mình chọn cách thường dùng nhất - Cauchy. Ở trên đã có 1 cách, đây là cách 2:

 

Ta có $\sum a^3+3abc \geq \sum ab(a+b) \Leftrightarrow  abc \geq \sum (a+b-c).$ (*)

 

Giả sử $a\ \geq b \geq c$ thì xét b + c - a < 0, lúc này (*) luôn đúng.

 

Xét b + c - a > 0 thì áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương: $(b+c-a)(a+b-c) \leq \frac{(b+c-a+a+b-c)^2}{4}=b^2$

 

$\Rightarrow \sum (a+b-c)^2 \leq (abc)^2$

 

Khai căn 2 vế ta đc đpcm.

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 09-02-2014 - 13:15

[Viet Hoang 99]

Ta có:

$\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}=\sum \frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}\geq$ $\frac{2a}{a+b+c}=2$

 

Dấu "=" xảy ra <=> $a=b=c=0$ => vô lí

Vậy

$\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}>2$

 
Fix đi nào, thiếu $\sum$

[angleofdarkness]

2) Tìm Min; Max của $A=xy$ biết $x;y$ nguyên dương và $x+y=2005$.

 

 

- Xét $x=y=\frac{2005}{2}$ (không thỏa mãn do x, y nguyên dương)

 

- Xét $x\neq y$, giả sử x > y thì ta biến đổi $A=xy=\frac{(x+y)^2-(x-y)^2}{4}=\frac{2005^2-(x-y)^2}{4}$ (**)

 

x, y nguyên dương và x > y; x + y = 2005 nên $1 \leq y<x \leq 2004 \Rightarrow 1 \leq x-y \leq 2003$

 

$\Rightarrow$ từ (**) thì có Min A = 2004 khi x = 2004, y = 1 (hoặc ngược lại); Max A = ... = 1005006 khi x = 1003; y = 1002 (hoặc ngược lại) 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 09-02-2014 - 14:05

[angleofdarkness]

6) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}$

 

C/m gì đấy?

[Viet Hoang 99]

Bài 1:BĐT $< = > x(x-y)(x-z)+y(y-z)(y-x)+z(z-x)(z-y)\geq 0$

Không mất tổng quát giả sử $x\leq y\leq z= > z(z-x)(z-y)\geq 0$

Do đó ta cần CM :$y(y-z)(y-x)+x(x-z)(x-y)\geq 0< = > (x-y)(x^2-xz-y^2+yz)\geq 0< = > (x-y)((x-y)(y+x)-z(x-y))\geq 0< = > (x-y)^2(x+y-z)\geq 0$(Luôn đúng do $x\geq y\geq z$)

Bước 1 hơi dài.

Giả sử $a\geq b\geq c>0$

$=>c(a-c)(b-c)\geq 0$

$=>c^3+abc\geq ac^2+bc^2$
Vậy ta cần cm: $a^3+b^3+2abc\geq ab(a+b)+b^2c+a^2c$

$<=>(a-b)^2(a+b-c)\geq 0$ (Luôn đúng)

 

 

C/m gì đấy?

Đã fix.
 

[Viet Hoang 99]

 

4) Cho $x;y;z;t$ dương thỏa $x+y+z+t=2$

Tìm Min $A=\frac{(x+y+z)(x+y)}{xyzt}$

 

 

 

Bài 4:Theo AM-GM có:$A=\frac{(x+y+z)(x+y)}{xyzt}=\frac{(x+y+z+t)^2(x+y+z)(x+y)}{4xyzt}\geq \frac{4t(x+y+z).(x+y+z)(x+y)}{xyzt}=\frac{4t(x+y+z)^2(x+y)}{xyzt}\geq \frac{4t.4z(x+y).(x+y)}{xyzt}=\frac{16tz(x+y)^2}{xyzt}\geq \frac{16tz.4xy}{xyzt}=64= > P\geq 64$

Hì, nhầm rồi Daicagiangho1998, giả thiết là $x+y+z+y=2$ mà, nhừng bài của Daicagiangho1998 là $x+y+z+t=1$ rồi. Fix lại đi, $min=16$

 

 

- Xét $x=y=\frac{2005}{2}$ thì $A=\frac{2005^2}{4}$ (không thỏa mãn do x, y nguyên dương)

 

- Xét $x\neq y$, giả sử x > y thì ta biến đổi $A=xy=\frac{(x+y)^2-(x-y)^2}{4}=\frac{2005^2-(x-y)^2}{4}$ (**)

 

x, y nguyên dương và x > y; x + y = 2005 nên $1 \leq y<x \leq 2004 \Rightarrow 1 \leq x-y \leq 2003$

 

$\Rightarrow$ từ (**) thì có Min A = 2004 khi x = 2004, y = 1 (hoặc ngược lại); Max A = ... = 1005006 khi x = 1003; y = 1002 (hoặc ngược lại) 

Không thỏa mãn thì tìm ra A làm gì?

[Hoang Tung 126]

Hì, nhầm rồi Daicagiangho1998, giả thiết là $x+y+z+y=2$ mà, nhừng bài của Daicagiangho1998 là $x+y+z+t=1$ rồi. Fix lại đi, $min=16$

 

 

Không thỏa mãn thì tìm ra A làm gì?

Uhm mình nhầm chỗ đó nhưng cách làm vẫn đúng

[Viet Hoang 99]

 

3) Tìm Min $A=|11^m-5^n|$ với $m;n$ nguyên dương.

 

 

3)

$11^m$ tận cùng là $1$ với mọi $m$ nguyên dương

$5^n$ tận cùng là $5$ với mọi $n$ nguyên dương

Nếu $11^m>5^n$ thì $A$ tận cùng là $6$ => $A\geq 6$

Nếu $11^m<5^n$ thì $A$ tận cùng là $4$ => $A\geq 4$

Vậy $Min A=4$ khi chẳng hạn $m=2; n=3$

 

Ta có:

$\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}=\sum \frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}\geq \sum\frac{2a}{a+b+c}=2$

 

Dấu "=" xảy ra <=> $a=b=c=0$ => vô lí

Vậy

$\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}>2$

Dấu = tại $a=0; b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 09-02-2014 - 13:55