Chủ đề này có 742 trả lời

[canhhoang30011999]

P/s: câu này nhầm dấu C/m à

Áp dụng BĐT $AM-GM$:

$\frac{x^{2}}{2}+\frac{9-\sqrt{17}}{4}.y^{2}\geq 2\left | xy \right |.\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{8}}$

$\frac{x^{2}}{2}+\frac{9-\sqrt{17}}{4}.z^{2}\geq 2\left | xz \right |.\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{8}}$

$\frac{\sqrt{17}-1}{4}.y^{2}+\frac{\sqrt{17}-1}{4}.z^{2}\geq 2\left | yz \right |.\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{8}}$

Cộng theo vế $VT\geq 2(\left | xy \right |+\left | yz \right |+\left | zx \right |).\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{8}}\geq 2.\left | xy+yz+zx \right |.\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{8}}=\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{2}}$

$=\frac{\sqrt{17}-1}{2}$

nhầm rồi đề là xy+z+xz=-1

[buiminhhieu]

nhầm rồi đề là xy+z+xz=-1

Nếu thế cho $x=y=0;z=-1$ thì đề sai rồi nha!

[Viet Hoang 99]

120) Cho $a;b;c>0$ thỏa $6(a^2+b^2+c^2)\geq 2011$. Tìm Min $A=\sum \frac{a^2}{b+c}$

 

120)

Có: $\sum \frac{a^2}{b+c}\geq \sum \frac{a^2}{\sqrt{2(b^2+c^2)}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\sum \frac{a^4}{a^2\sqrt{b^2+c^2}}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}.\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum a^2\sqrt{b^2+c^2}}$

Áp dụng BCS:
 

$\sum a^2\sqrt{b^2+c^2}=\sum a\sqrt{a^2b^2+a^2c^2}\leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)2\sum a^2b^2}\leq \sqrt{2(a^2+b^2+c^2)     (\frac{a^2+b^2+c^2}{3})^2}=\sqrt{\frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)^3}$

$\Rightarrow \sum \frac{a^2}{b+c}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}.\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sqrt{\frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)^3}}$

Mà $\sqrt{2011}\leq \sqrt{6(a^2+b^2+c^2)}\Rightarrow \sqrt{a^2+b^2+c^2}\geq \sqrt{\frac{2011}{6}}$

$\Rightarrow A\geq \frac{1}{2}.\sqrt{\frac{2011}{2}}$

Dấu = có khi: $a=b=c=\frac{\sqrt{1022}}{6}$

[lahantaithe99]

 

120) Cho $a;b;c>0$ thỏa $6(a^2+b^2+c^2)\geq 2011$. Tìm Min $A=\sum \frac{a^2}{b+c}$

 

 

 

Cũng là áp dụng BCS nhưng cách biến đổi có hơi khác chút

Ta có

 

$\sum \frac{a^2}{b+c}=\sum \frac{a^4}{a^2b+a^2c}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)}$

 

Có BĐT  $ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)\leqslant \frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)$

 

$\Rightarrow \sum \frac{a^2}{b+c}\geqslant \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{2(a+b+c)}\geqslant \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{2.\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}$

 

$=\frac{1}{2}.\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}\geqslant \sqrt{\frac{2011}{8}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 28-03-2014 - 17:39

[Viet Hoang 99]

124) Cho $S=a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd$ trong đó $ad-bc=1$. Cmr: $S\geq \sqrt{3}$

 

125) Cho $x;y;z$ thoả $\left\{\begin{matrix}x+y+z=5 & & \\ x^2+y^2+z^2=9 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $1\leq x,y,z\leq \frac{7}{3}$

 

126) Cho $x;y\neq 0$. Cmr: $\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\geq 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$
 

127) Cho $a;b;c\in [-1;2]$ thoả mãn: $a+b+c=0$. Cmr: $a^2+b^2+c^2\leq 6$

 

128) Cmr: $\sum (x-y)^2\leq 3\sum x^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 30-03-2014 - 22:02

[Trang Luong]

124) Cho $S=a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd$ trong đó $ad-bc=1$. Cmr: $S\geq \sqrt{3}$

125) Cho $x;y;z$ thoả $\left\{\begin{matrix}x+y+z=5 & & \\ x^2+y^2+z^2=9 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $1\leq x,y,z\leq \frac{7}{3}$

126) Cho $x;y\neq 0$. Cmr: $\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\geq 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$

127) Cho $a;b;c\in [-1;2]$ thoả mãn: $a+b+c=0$. Cmr: $a^2+b^2+c^2\leq 6$

128) Cmr: $\sum (x-y)^2\leq 3\sum x^2$

128. Ta có : $\left ( x-y \right )^2+\left ( y-z \right )^2+\left ( z-x \right )^2-3\left ( x^2+y^2+z^2 \right )=-\left ( 2xy+2yz+2xz+x^2+y^2+z^2 \right )=-\left ( x+y+z \right )^2\leq 0\Rightarrow \sum (x-y)^2\leq 3\sum x^2$

127. Ta có : $\left ( a+1 \right )\left ( a-2 \right )\leq 0\Leftrightarrow a^2\leq 2+a\Rightarrow \sum a^2\leq 6+a+b+c=6$

125. Ta có : $5-x=y+z\Rightarrow (5-x)^2=(y+z)^2\leq 2y^2+2z^2=2\left ( 9-x^2 \right )\Rightarrow 0\leq 10x-3x^2-7\Rightarrow 0\leq \left ( 3x-7 \right )\left ( 1-x \right )$
$\Rightarrow 1\leq x\leq \frac{7}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 28-03-2014 - 19:32

[lahantaithe99]

124) Cho $S=a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd$ trong đó $ad-bc=1$. Cmr: $S\geq \sqrt{3}$

 

 

 

 

124

Ta có

 

$1+(ac+bd)^2=(ad-bc)^2+(ac+bd)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$

 

$\Rightarrow (a^2+b^2)+(c^2+d^2)\geqslant 2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}=2\sqrt{1+(ac+bd)^2}$

 

Đậy $ac+bd=x$ thì 

 

$S=a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd\geqslant 2\sqrt{1+x^2}+x$

 

$\Leftrightarrow S^2\geqslant 4(x^2+1)+x^2+4x\sqrt{1+x^2}=(x^2+1)+(2x)^2+4x\sqrt{x^2+1}+3$

 

$=(\sqrt{x^2+1}+2x)^2+3\geqslant 3\Rightarrow S\geqslant \sqrt{3}$

 

p/s: thấy nghi nghi  

126

Ta có

 

$\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4=(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^2+2=\frac{1}{2}(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^2+\frac{1}{2}(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^2+2$

 

Áp dụng BĐT Cô si thì

 

$\frac{1}{2}(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^2+2\geqslant 2(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})(1)$

 

$\frac{1}{2}(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^2\geqslant \frac{1}{2}.2(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}(2)$

 

Từ $(1)(2)$ suy ra đpcm

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 28-03-2014 - 20:28

[canhhoang30011999]

124) Cho $S=a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd$ trong đó $ad-bc=1$. Cmr: $S\geq \sqrt{3}$

 

125) Cho $x;y;z$ thoả $\left\{\begin{matrix}x+y+z=5 & & \\ x^2+y^2+z^2=9 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $1\leq x,y,z\leq \frac{7}{3}$

 

126) Cho $x;y\neq 0$. Cmr: $\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\geq 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$
 

127) Cho $a;b;c\in [-1;2]$ thoả mãn: $a+b+c=0$. Cmr: $a^2+b^2+c^2\leq 6$

 

128) Cmr: $\sum (x-y)^2\leq 3\sum x^2$

 

126$bdt\Leftrightarrow (\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^{2}-3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+2\geq 0$

đặt $t= \frac{x}{y}+\frac{y}{x}$

ta có

$t^{2}\geq 4$

$\Leftrightarrow$ $t\geq 2$ hoặc $t\leq - 2$

lúc đó 

$bdt\Leftrightarrow (t-1)(t-2)\geq 0$(luôn đúng)

dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x=y$

[synovn27]

129)  $a,b > 0  thỏa   mãn    3a^{2}  + 2b^{2} \leq  5$

Tìm min     $A=\frac{a}{2}+ b+  \frac{2}{ab}$

   

@Viet Hoang 99: Chú ý công thức toán và số thứ tự bài viết.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 30-03-2014 - 20:56

[BABY CUTE]

130, Cho $a\geq b\geq c\geq 0$ 

Tìm Min của $P=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 30-03-2014 - 20:53

[lahantaithe99]

  $a,b > 0$  thỏa   mãn    $3a^{2}  + 2b^{2} \leq  5$

Tìm min     $ \frac{a}{2}+ b+  \frac{2}{ab}$

   

Áp dụng BĐT Cô si 

 

$5=3a^2+2b^2=a^2+a^2+a^2+b^2+b^2\geqslant 5.\sqrt[5]{a^6b^4}\Rightarrow a^6b^4\leqslant 1\Rightarrow a^3b^2\leqslant 1$

 

Tiếp tục áp dụng BĐT cô si và sử dụng $a^3b^2\leqslant 1$

 

$\frac{a}{2}+b+\frac{2}{ab}=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}$

 

$\geqslant 7.\sqrt[7]{\frac{1}{2^7a^3b^2}}\geqslant \frac{7}{2}$

 

@Viet Hoang 99: Đừng sửa trích dẫn của người khác nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 30-03-2014 - 20:54

[Viet Hoang 99]

131) Cho pt: $x^2+ax+1=0$ có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$. Tìm Min $T=x_1^4+x_2^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 31-03-2014 - 17:39

[BoY LAnH LuNg]

132, Cho xy=1, x > y chứng minh $\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y}$ $\geq 2\sqrt{2}$

133, Cho $x,y\geq 0$ và $x^{2}+y^{2}= 1$. Chứng minh rằng $\frac{1}{\sqrt{2}}\leq x^{3}+y^{3}\leq 1$

134, Cho a, b, c thoả mãn $0\leq a,b,c\leq 2$ và $a+b+c= 3$

Chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 31-03-2014 - 20:18

[buiminhhieu]

131) Cho pt: $x^2+ax+1=0$ có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$. Tìm Min $T=x_1^4+x_2^2$

Ta có $T=x_{1}^{4}+x_{2}^{2}$

$x_{2}^{2}+x_{1}^{4}=x_{2}^{2}+\frac{1}{x_{2}^{4}}=\frac{x_{2}^{2}}{2}+\frac{x_{2}^{2}}{2}+\frac{1}{x_{2}^{4}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

Dấu "=" khi $x_{1}=\sqrt[6]{2}$

[lahantaithe99]

Theo hệ thức Viet thì $x_{1}.x_{2}=1\Rightarrow x_{1}=\frac{1}{x_{2}}$

 

Áp dụng BĐT Cô si thì 

 

$T=x_{1}^4+x_{2}^2=\frac{1}{x_{2}^4}+x_{2}^2=\frac{1}{x_{2}^4}+\frac{x_{2}^2}{2}+\frac{x_{2}^2}{2}\geqslant 3.\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

[buiminhhieu]

 

133, Cho $x,y\geq 0$ và $x^{2}+y^{2}= 1$. Chứng minh rằng $\frac{1}{\sqrt{2}}\leq x^{3}+y^{3}\leq 1$

 

Do $x^{2}+y^{2}=1\Rightarrow 0\leq x,y\leq 1\Rightarrow x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}=1$

 

$x^{3}\sqrt{2}+x^{3}\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}\geq 3\sqrt[3]{x^{6}.\frac{1}{\sqrt{2}}}=3x^{2}.\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{2}}}$cộng theo vế là xong

[canhhoang30011999]

132, Cho xy=1, x > y chứng minh $\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y}$ $\geq 2\sqrt{2}$

133, Cho $x,y\geq 0$ và $x^{2}+y^{2}= 1$. Chứng minh rằng $\frac{1}{\sqrt{2}}\leq x^{3}+y^{3}\leq 1$

134, Cho a, b, c thoả mãn $0\leq a,b,c\leq 2$ và $a+b+c= 3$

Chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 5$

132 $bdt\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}\geq 2\sqrt{2}(x-y)$

$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}\geq 8(x-y)^{2}$

$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}\geq 8(x^{2}+y^{2})-16$

$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2}-4)^{2}\geq 0$

[hoctrocuanewton]

135, cho a,b dương thỏa mãn $(a+\sqrt{a^{2}+1})(b+\sqrt{b^{2}+1})=2014$ . Tìm Min của P=x+y

[canhhoang30011999]

132, Cho xy=1, x > y chứng minh $\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y}$ $\geq 2\sqrt{2}$

133, Cho $x,y\geq 0$ và $x^{2}+y^{2}= 1$. Chứng minh rằng $\frac{1}{\sqrt{2}}\leq x^{3}+y^{3}\leq 1$

134, Cho a, b, c thoả mãn $0\leq a,b,c\leq 2$ và $a+b+c= 3$

Chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 5$

134

Giả sử $0\leq a\leq b\leq c\leq 2$

khi đó $0\leq a\leq 1$

$1\leq c \leq 2$

$\Rightarrow a^{2}\leq a,c^{2}\leq 3c-2$

VT$= a^{2}+c^{2}+(3-a-c)^{2}$$\leq 2a(c-2)+5\leq 5$

[buiminhhieu]

134

Giả sử $0\leq a\leq b\leq c\leq 2$

khi đó $0\leq a\leq 1$

$1\leq c \leq 2$

$\Rightarrow a^{2}\leq a,c^{2}\leq 3c-2$

VT$= a^{2}+c^{2}+(3-a-c)^{2}$$\leq 2a(c-2)+5\leq 5$

Chỗ này tại sao