Chủ đề này có 742 trả lời

[einstein627]

Học Bdt không giỏi nhưng cũng có nhiều bài hay 

145.Cho a,b,c>0 CMR

$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}+a+b+c\geq 2\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})}$

[lahantaithe99]

Học Bdt không giỏi nhưng cũng có nhiều bài hay 

145.Cho a,b,c>0 CMR

$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}+a+b+c\geq 2\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})}$

 

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

 

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+a+b+c\geqslant 2\sqrt{(a+b+c)(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})}$

 

Giờ ta cần chứng minh

 

$(a+b+c)(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})\geqslant (a^2+b^2+c^2)(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})$

 

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\sum \frac{ab^2}{c}\geqslant ab+bc+ac+\sum \frac{a^2b}{c}$

 

$\Leftrightarrow \sum \frac{c(a-b)(a-c)}{b}\geqslant 0$ (cái này đúng theo BĐT S. Chur)

 

Vậy ta có đpcm

[einstein627]

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

 

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+a+b+c\geqslant 2\sqrt{(a+b+c)(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})}$

 

Giờ ta cần chứng minh

 

$(a+b+c)(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})\geqslant (a^2+b^2+c^2)(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})$

 

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\sum \frac{ab^2}{c}\geqslant ab+bc+ac+\sum \frac{a^2b}{c}$

 

$\Leftrightarrow \sum \frac{c(a-b)(a-c)}{b}\geqslant 0$ (cái này đúng theo BĐT S. Chur)

 

Vậy ta có đpcm

C2.

Chọn a sao cho $Max(a,b,c)\geq a\geq Min(a,b,c)$ (dòng này suy ra cuối cùng nhưng viết ở đầu)

Áp dụng bdt cauchy cho 2 số dương

$2\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})}= 2\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a}.[a.(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})]}\leq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a}+\frac{a^{2}}{b}+\frac{ab}{c}+c$

$= a+\frac{b^{2}}{a}+\frac{c^{2}}{a}+\frac{a^{2}}{b}+\frac{ab}{c}+c$

Ta có đpcm nếu cm được

$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}+a+b+c\geq a+\frac{b^{2}}{a}+\frac{c^{2}}{a}+\frac{a^{2}}{b}+\frac{ab}{c}+c$

$\Leftrightarrow \frac{b^{2}}{c}+b\geq \frac{b^{2}}{a}+\frac{ab}{c}$

$\Leftrightarrow ab+ac\geq bc+a^{2}$

$\Leftrightarrow (a-b)(a-c)\leq 0$

Đúng với cách chọn a ban đầu ta có đpcm 

[einstein627]

146

a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác CMR

$(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)^{2}\geq abc(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

[lahantaithe99]

146

a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác CMR

$(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)^{2}\geq abc(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

 

$(a^2b+b^2c+c^2a)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geqslant (a+b+c)^2$

 

$\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a\geqslant \frac{abc(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}$

 

$\Leftrightarrow (a^2b+b^2c+c^2a)^2\geqslant \frac{abc(a+b+c)^2(a^2b+b^2c+c^2a)}{ab+bc+ac}$

 

Để kết thúc bài toán ta cần chứng minh

 

$(a+b+c)(a^2b+b^2c+c^2a)\geqslant (ab+bc+ac)(a^2+b^2+c^2)$

 

$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geqslant abc(a+b+c)$ (BĐT này đúng theo $AM-GM$)

[nguyenhongsonk612]

147: Cho $a,b,c \in [0;2]$ và $a+b+c=3$. CMR: $a^2+b^2+c^2\leq 5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 18-04-2014 - 22:49

[firetiger05]

147: Cho $a,b,c \in [0;2]$ và $a+b+c=3$. CMR: $a^2+b^2+c^2\leq 5$

Xét tích : $(2-a)(2-b)(2-c)\leq 0$ <=> $abc-2(ab+ac+bc)\geq -4$

          Lại có : $(a+b+c)^{2}= a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ac)=9$

Cộng vế ta có : $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\geq 5$

Mà abc $\geq$ 0 -> đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi firetiger05: 18-04-2014 - 23:21

[einstein627]

 

147: Cho $a,b,c \in [0;2]$ và $a+b+c=3$. CMR: $a^2+b^2+c^2\leq 5$

1 cách khác

$a+b+c=3\Rightarrow a-1+b-1+c-1=0$

Đặt a-1=x b-1= y c-1=z

Ta có x+y+z=0

x,y,z thuộc [-1;1]

Ta có 

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=(x+1)^{2}+(y+1)^{2}+\left ( z+1 \right )^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+3$

Mặt khác x+y+z=0 suy ra tồn tại 2 số dương hoặc 2 số âm g/s 2 số đó là x và y

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq \left | x \right |+\left | y \right |+\left | z \right |=\left | x+y \right |+\left | z \right |=2\left | z \right |\leq 2$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+3\leq 5$

đpcm

(có thể sd cách này để cm bài bdt trong kì thi hsg tp hà nội)

 

Chú ý: Trích dẫn đề bài ra?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi einstein627: 19-04-2014 - 22:16

[lahantaithe99]

Xét tích : $(2-a)(2-b)(2-c)\leq 0$ <=> $abc-2(ab+ac+bc)\geq -4$

          Lại có : $(a+b+c)^{2}= a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ac)=9$

Cộng vế ta có : $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\geq 5$

Mà abc $\geq$ 0 -> đpcm

$a^2+b^2+c^2+abc\geqslant 5$ mà $abc\geqslant 0$ thì không thể suy ra $a^2+b^2+c^2\leqslant 5$ được

[nguyenhongsonk612]

$a^2+b^2+c^2+abc\geqslant 5$ mà $abc\geqslant 0$ thì không thể suy ra $a^2+b^2+c^2\leqslant 5$ được

Lahan ơi, có phải như thế này không?

Giải:

Xét tích $(2-a)(2-b)(2-c)\geq 0\Leftrightarrow 8-4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)-abc\geq 0\Leftrightarrow -4+2(ab+bc+ca)\geq abc\geq 0\Rightarrow -2(ab+bc+ca)\leq -4$

Có: $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)\leq 9-4=5$. Đây là đpcm

[HoangHungChelski]

Bài 148:
Cho $x,y,z>1$ thỏa $xy+yz+zx+xyz=20$. CM BĐT:
$\frac{3}{x+y+z-3}\geq (x-1)(y-1)(z-1)$
Bài 149:
Cho $x,y,z>0$ thỏa $x+y+z=9$. Tìm GTLN của:
$A=\sum \frac{xy}{\sqrt{xy+2z}}$
P/s: có lẽ bài 149 đã có trên diễn đàn, nhưng hình như chưa ai giải được thì phải. Mình đăng lên để mọi người cùng thảo luận. Nếu đã có bạn đăng rồi thì thôi!

 

[hienluc]

6)Xét hiệu: $(a^{4}+b^{4}).2-(a^{3}+b^{3})(a+b)
Biến đổi tương đương
=> $(a-b)^{2}(a^{2}+ab+b^{2})\geq 0\forall a;b$

$\Leftrightarrow 2(a^{4}+b^{4})\geq (a^{3}+b^{3})(a+b)$

Mà $GT\Rightarrow (a+b)(a^{4}+b^{4})\geq 2(a^{4}+b^{4})$

$\Rightarrow (a^{4}+b^{4})(a+b)\geq (a^{3}+b^{3})(a+b)$

=>đpcm.

7)$PT\Leftrightarrow 1<\sqrt{a^{2}+a}-\sqrt{a^{2}-a}$

$\Leftrightarrow a+\sqrt{a^{2}-a}<\sqrt{a^{2}+a}$

$\Leftrightarrow a^{2}-a+1+2\sqrt{a^{2}-a}<a^{2}+a$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{a^{2}-a}<2a-1\Leftrightarrow 4a^{2}-4a<4a^{2}-4a+1\Leftrightarrow 0<1$ (luôn đúng)
8)
$PT\Leftrightarrow (a-bc)^{2}+(b-ca)^{2}+(c-ab)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

10) Nhân cả 2 vế của bất đẳng thức với 4 thu gọn được:

$(a-2b)^{2}+(a-2d)^{2}+(a-2c)^{2}+(a-2e)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

bạn ơi câu 7 từ b1 đến b2 ntn z hình như điều kiện là a>1 mà

[firetiger05]

Bài 149:
Cho $x,y,z>0$ thỏa $x+y+z=9$. Tìm GTLN của:
$A=\sum \frac{xy}{\sqrt{xy+2z}}$
P/s: có lẽ bài 149 đã có trên diễn đàn, nhưng hình như chưa ai giải được thì phải. Mình đăng lên để mọi người cùng thảo luận. Nếu đã có bạn đăng rồi thì thôi!

 

Mình nghĩ là x+y+z = 2 chứ nhỉ?

Thay x+y+z=2 vào ta có:

VT = $\sum \frac{xy}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}\leq \sum \frac{1}{2}(\frac{xy}{z+x}+\frac{xy}{z+y})(BĐT phụ   ab\leq \frac{a^{2}+b^{2}}{2})=\frac{1}{2}(x+y+z)=1$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi firetiger05: 20-04-2014 - 20:43

[letankhang]

Đóng góp 2 bài vậy !!

Bài 150 : Cho $a;b;c$ là các số thực dương. Tìm $GTNN$ của : 
$$Q=\sum \sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}+\sum \sqrt{\frac{b+c}{a}}$$
Bài 151 : Cho : $x+y+z=3$; $0\leq x;y;z\leq 2$. Tìm $GTNN;GTLN$ của :
$$A=x^{4}+y^{4}+z^{4}+12(1-x)(1-y)(1-z)$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 07-06-2014 - 10:40

[einstein627]

Bài 151 : Cho : $x+y+z=3$; $0\leq x;y;z\leq 2$. Tìm $GTNN;GTLN$ của :
$$A=x^{4}+y^{4}+z^{4}+12(1-x)(1-y)(1-z)$$

$151/$

Thấy 1 bài dùng pp của bài 147 chém luôn

Đặt x-1=a

y-1=b

z-1=c

Từ giả thiết ta có a+b+c=0 a,b,c$\epsilon$ [-1;1]

A=$(a+1)^{4}+(b+1)^{4}+(c+1)^{4}-12abc$

$=a^{4}+b^{4}+c^{4}+4(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc)+4(a+b+c)$ $+6(a^{2}+b^{2}+c^{2})+3$ 

Mặt khác $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$

                 a+b+c=0

Nên

A=$a^{4}+b^{4}+c^{4}$ $+6(a^{2}+b^{2}+c^{2})+3$

Đến đây giải tương tự bài 147

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 07-06-2014 - 10:40

[lahantaithe99]

Đóng góp 2 bài vậy !!

Bài 150 : Cho $a;b;c$ là các số thực dương. Tìm $GTNN$ của : 
$$Q=\sum \sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}+\sum \sqrt{\frac{b+c}{a}}$$
 

Bài này nhìn số má trâu bò quá!     

$150/$

Áp dụng BĐT Cauchy ta có

 

$Q\geqslant 3\left [ \sqrt[12]{\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}} +\sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}}\right ]$

 

$=3\left [ \sqrt[12]{\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}+\frac{1}{\sqrt[4]{8}}.\sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}} \right ]+3(1-\frac{1}{\sqrt[4]{8}})\sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}}$

 

 Cô si cho biểu thức thứ nhất

 

Biếu thức $(1)$ $\geqslant 2\sqrt[24]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{512abc}}\geqslant 2.\sqrt[24]{\frac{1}{64}}=2.\sqrt[4]{\frac{1}{2}}$

 

Biểu thức $(2)$ $(1-\frac{1}{\sqrt[4]{8}})\sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}}\geqslant (1-\frac{1}{\sqrt[4]{8}})\sqrt[6]{8}=\sqrt{2}-\sqrt[4]{\frac{1}{2}}$

 

Cộng vế suy ra $Q\geqslant 3(\sqrt[4]{\frac{1}{2}}+\sqrt{2})$

 

P/s: bài này cồng kềnh tốn bao nhiêu t/g, mà lại còn k biết có đúng k nữa 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 07-06-2014 - 10:40

[chieckhantiennu]

Bài 152.

 

Cho các số a,b,c dương có tích $abc=1$.
Chứng minh rằng:

$\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\leq \frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 26-04-2014 - 17:48

[HoangHungChelski]

Bài 153: 
Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa $a+b+c=3$. Tìm GTLN của: 
$S=(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 26-04-2014 - 17:47

[firetiger05]

Bài 154: Cho a,b,c >0 thỏa mãn : a+b+c=3

Chứng minh: $\sum \frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 26-04-2014 - 17:43

[HoangHungChelski]

Bài 154: Cho a,b,c >0 thỏa mãn : a+b+c=3

Chứng minh: $\sum \frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\leq 1$

Bài này hình như có trên diễn đàn rồi thì phải!
Ta có: $\sum \frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}= \sum \frac{x}{x+\sqrt{(x+y+z)x+yz}}= \sum \frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}\leq \sum \frac{x}{x+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}= \sum \frac{\sqrt{x}}{\sum \sqrt{x}}=1$ (Áp dụng BĐT Bunhiacopski)