Chủ đề này có 742 trả lời

[I Love MC]

1 số bài khó 
177) Cho $a_1,a_2,..,a_n>0$ với $n \ge 2$. C/m 
$(a_1^3+1)(a_2^2+1)...(a_n^3+1) \ge (a_1^2a_2+1)....(a_n^2a_1+1)$ ( Cuộc thi Czech-Slovanikia-Balan 2002) 
178) Cho $x,y,z>1$ sao cho $\sum \frac{1}{x}=2$. C/m 
$\sqrt{x+z+y} \ge \sum \sqrt{x-1}$ ( Iran 1998) 
179) C/m với $a,b,c>0$ thì : 
$\sum \frac{(b+c-a)^2}{a^2+(b+c)^2} \ge \frac{3}{5}$ ( Nhật Bản 1997)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 14-06-2014 - 18:19

[littlemiumiu21]

(Câu cuối đề thi thử vào 10 trường THCS Dương Xá) 
$180/$
Cho $x+xy+y=8
Tìm GTNN P=x^{3}+y^{3} +x^{2} +y^{2}+5x+5y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 22-06-2014 - 19:59

[nguyenhongsonk612]

(Câu cuối đề thi thử vào 10 trường THCS Dương Xá) 
$180/$
Cho $x+xy+y=8
Tìm GTNN P=x^{3}+y^{3} +x^{2} +y^{2}+5x+5y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

He he, hôm đấy làm được câu này!

$180/$

Giải:

Theo Cô-si ta có:

$x^2+4\geq 4x;y^2+4\geq 4y;2(x^2+y^2)\geq 4xy$

$\Rightarrow 3(x^2+y^2)+8\geq 32\Leftrightarrow x^2+y^2\geq 8$

Đặt $x+y=t (t>0)$, theo gt ta có:

$8=t+xy\leq t+\frac{t^2}{4}\Rightarrow t\geq 4$ (Do $t>0$)

Ta có:

$P\geq t(t^2-3xy)+8+5t+\frac{4}{t}\geq t(t^2-\frac{3t^2}{4})+8+5t+\frac{4}{t}\geq \frac{t^3}{4}+8+\frac{19t}{4}+\frac{t}{4}+\frac{4}{t}\geq 16+8+19+2=45$

Vậy $min P=45$. Dấu "=" khi $x=y=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 14-06-2014 - 18:20

[lahantaithe99]

178) Cho $x,y,z>1$ sao cho $\sum \frac{1}{x}=2$. C/m 
$\sqrt{x+z+y} \ge \sum \sqrt{x-1}$ ( Iran 1998) 
179) C/m với $a,b,c>0$ thì : 
$\sum \frac{(b+c-a)^2}{a^2+(b+c)^2} \ge \frac{3}{5}$ ( Nhật Bản 1997)

178

 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki

 

$(\sum \sqrt{x-1})^2\leqslant (x+y+z)(\frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z})=(x+y+z)(3-\sum \frac{1}{x})=x+y+z$

 

$\Rightarrow \sqrt{x+y+z}\geqslant \sum \sqrt{x-1}$

 

179

 

Không mất tính tổng quát ta chuẩn hóa $a+b+c=3$

 

Khi đó cần chứng minh $\sum \frac{(3-2a)^2}{a^2+(3-a)^2}\geqslant \frac{3}{5}$

 

Ta đi chứng minh BĐT sau đúng $\frac{(3-2a)^2}{a^2+(3-a)^2}\geqslant \frac{23}{25}-\frac{18a}{25}$

 

$\Leftrightarrow (a-1)^2(a+\frac{1}{2})\geqslant 0$ (luôn đúng với mọi số dương $a$)

 

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng lại ta đpcm

[thuydung2000]

cho mình góp 1 bài nhé
Cho a,b,c>0.chứng minh:

$181/$

$\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}}{b^{2}+c^{2}}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 26-06-2014 - 16:56

[Dam Uoc Mo]

cho mình góp 1 bài nhé

$181/$

Cho a,b,c>0.chứng minh:

$\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}}{b^{2}+c^{2}}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}$

$181/$

$BDT\Leftrightarrow \sum (\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}-\frac{a}{b+c})\geq 0\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}b+a^{2}c-ab^{2}-ac^{2}}{(b^{2}+c^{2})(b+c)}\geq 0\Leftrightarrow \sum \frac{ab(a-b)+ac(a-c)}{(b^{2}+c^{2})(b+c)}\geq 0\Leftrightarrow \sum ab(a-b)\left [ \frac{1}{(b^{2}+c^{2})(b+c)}-\frac{1}{(a^{2}+c^{2})(a+c)} \right ]\geq 0.$

Điều này hoàn toàn đúng khi không mất tính TQ ta giả sử $a\geq b\geq c$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 22-06-2014 - 20:00

[thuydung2000]

giải thích rõ hơn được không?em mới học lớp 8 thôi

[Minnmeo]

$182/$

Cho $x,y,z$ không âm thỏa mãn $x+y+z+xyz=4$. Tìm max $P=xy+yz+zx$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 26-06-2014 - 16:54

[Viet Hoang 99]

giải thích rõ hơn được không?em mới học lớp 8 thôi

 

 

$181/$

$BDT\Leftrightarrow \sum (\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}-\frac{a}{b+c})\geq 0\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}b+a^{2}c-ab^{2}-ac^{2}}{(b^{2}+c^{2})(b+c)}\geq 0\Leftrightarrow \sum \frac{ab(a-b)+ac(a-c)}{(b^{2}+c^{2})(b+c)}\geq 0\Leftrightarrow \sum ab(a-b)\left [ \frac{1}{(b^{2}+c^{2})(b+c)}-\frac{1}{(a^{2}+c^{2})(a+c)} \right ]\geq 0.$

Điều này hoàn toàn đúng khi không mất tính TQ ta giả sử $a\geq b\geq c$.

Đối với lớp 8 hiểu như sau:
Xét hiệu:

$\left(\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}-\frac{a}{b+c}\right)\geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{a^{2}b+a^{2}c-ab^{2}-ac^{2}}{(b^{2}+c^{2})(b+c)}\geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{ab(a-b)+ac(a-c)}{(b^{2}+c^{2})(b+c)}\geq 0$
Chứng minh tương tự cho các hiệu kia

Cộng lại ta sẽ có điều luôn đúng khi giả sử $a\geq b\geq c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 26-06-2014 - 16:54

[Viet Hoang 99]

$182/$

Cho $x,y,z$ không âm thỏa mãn $x+y+z+xyz=4$. Tìm max $P=xy+yz+zx$

$182/$

 

Giả sử $x=max\left \{ x;y;z \right \}$

$\Rightarrow x+y+z \leq  3x$ và $xyz \leq x^3$

$\Rightarrow x^3+3x \geq 4$ $\Leftrightarrow (x-1)(x^2+x+4) \geq 0$

$\Rightarrow x \geq 1$

Ta có $P=x(x+y+z)+yz-x^2=x(4-xyz)+yz-x^2=-(x-2)^2+4+yz(1-x^2) \leq 4$

Vậy $P_{max}=4$ khi $x,y,z$ là hoán vị của $(2;2;0)$

 

______________

 

Giả sử $z=min\left \{ x;y;z \right \}$

ta có $z\leq 1$

$0\leq z\leq 1\Rightarrow 0\leq 1-z\leq 1$

nếu $(x-1)(y-1)\leq 0$

$\Rightarrow (x-1)(y-1)(z-1)\geq 0 (1)$

nếu $(x-1)(y-1)\geq 0$

ta có $x+y\leq 4$

$\Rightarrow (x+y)^{2}\leq4( x+y)$

$\Rightarrow$ $4(x+y)\geq 4xy$

$xy-x-y+1\leq 1$

$(x-1)(y-1)\leq 1$

$\Rightarrow (x-1)(y-1)(1-z)\leq 1$

$\Rightarrow (x-1)(y-1)(z-1)\geq -1(2)$

từ (1) và (2) ta có

$(x-1)(y-1)(z-1)\geq -1$

$\Leftrightarrow xy+yz+zx\leq xyz+z+x+y= 4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 26-06-2014 - 16:55

[nguyenhongsonk612]

Bài 152: Cho $a,b,c$ là các số thực dương tùy ý. CMR:

$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{1}{3}\geq \frac{8}{9}(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})$

Bài 153: CMR với mọi $a,b,c>0$ ta luôn có:

$(a+\frac{bc}{a})(b+\frac{ca}{b})(c+\frac{ab}{c})\geq 4\sqrt[3]{(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)}$

Bài 154: Cho $a,b,c>0$. CMR:

$(1+a+b+c)(1+ab+bc+ca)\geq 4\sqrt{2(a+bc)(b+ca)(c+ab)}$

Bài $152$

Giải:

BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+3\geq \frac{8}{9}(\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1)\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+3\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b})$

Ta có BĐT sau $(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)\Leftrightarrow \frac{8}{9}(a+b+c)\leq \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{ab+bc+ca}$

$\Rightarrow \frac{8}{9}(a+b+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b})\leq \frac{(a+b)(a+c)+(a+b)(b+c)+(b+c)(c+a)}{ab+bc+ca}=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+3$

(Đpcm)

P/s: Còn bài $153$ và bài $154$ kìa, lahan huynh và mọi nguời giúp đệ nhé! Tks.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 03-07-2014 - 12:11

[killerdark68]

Bài183:Cho a,b,c >0 và a+b+c=1.CMR $ab+bc+ca\geq 8(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

Bài 184:Cho x>0 .CMR: $\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}+\sqrt{x}\leq \sqrt{x+9}$

Bài 185: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác.CMR $\left |\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-\frac{b}{a}-\frac{c}{b}-\frac{a}{c} \right |>1$

Bài 186:Cho a,b >0 CMR :$\frac{2a^2+3b^2}{2a^3+3b^3}+\frac{2b^2+3a^2}{2b^3+3a^3}\leq \frac{4}{a+b}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 04-07-2014 - 12:58

[Dam Uoc Mo]

Bài 184:Cho x>0 .CMR: $\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}+\sqrt{x}\leq \sqrt{x+9}$

$BDT\Leftrightarrow (2\sqrt{2}+\sqrt{x(x+1)})^{2}\leq (x+1)(x+9)\Leftrightarrow 8+x^{2}+x+4\sqrt{2x(x+1)}\leq x^{2}+10x+9\Leftrightarrow 4\sqrt{2x(x+1)}\leq 9x+1=(x+1)+8x\Leftrightarrow (\sqrt{x+1}-2\sqrt{2x})^{2}\geq 0.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dam Uoc Mo: 03-07-2014 - 17:21

[lahantaithe99]

Bài183:Cho a,b,c >0 và a+b+c=1.CMR $ab+bc+ca\geq 8(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

Bài 184:Cho x>0 .CMR: $\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}+\sqrt{x}\leq \sqrt{x+9}$

 

Bài 186:Cho a,b >0 CMR :$\frac{2a^2+3b^2}{2a^3+3b^3}+\frac{2b^2+3a^2}{2b^3+3a^3}\leq \frac{4}{a+b}$

 

Bài 183: Xem lại đề bạn nhé hình như có vấn đề rồi !

 

Bài 184. Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

 

$(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}+\sqrt{x})^2\leqslant (\frac{8}{x+1}+1)(1+x)=x+9$

 

$\Rightarrow \sqrt{\frac{8}{x+1}}+\sqrt{x}\leqslant \sqrt{x+9}$ (đpcm)

 

Bài 186: 

 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta giảm bậc cho BĐT đỡ cồng kềnh

 

$(2a^3+3b^3)(2a+3b)\geqslant (2a^2+3b^2)^2\Rightarrow \frac{2a^2+3b^2}{2a^3+3b^3}\leqslant \frac{2a+3b}{2a^2+3b^2}$

 

Do đó ta đi chứng minh

 

 $\sum \frac{2a+3b}{2a^2+3b^2}\leqslant \frac{4}{a+b}\Leftrightarrow \sum (\frac{2a+3b}{2a^2+3b^2}-\frac{2}{a+b})\leqslant 0$

 

$\Leftrightarrow -(a-b)^2\left [ \frac{12(a^2+b^2)-ab}{(a+b)(2a^2+3b^2)(2b^2+3a^2)} \right ]\leqslant 0$ (luôn đúng) 

 

Do đó ta có đpcm

[killerdark68]

Bài 187/ Cmr: $\frac{1}{2\sqrt[k]{1}}+\frac{1}{3\sqrt[k]{2}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt[k]{n})}< k$ (n,k $\in$ N*)

Bài 188/ cho a,b,c là độ dàí 3 cạnh 1 tam giác và a+b+c=m.CMR $a^2+b^2+c^2+4abc<\frac{m^2}{2}$

Bài 189/ cho a,b,c$\geq$ 0 và a+b+c=1.CMR $0\leq ab+cb+ca+2abc\leq \frac{7}{27}$

Bài 190/ Cho S=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n} (n\in N*)$ CMR:: $\frac{1}{S_{1}^{2}}+\frac{1}{2S_{2}^{2}}+\frac{1}{3S_{3}^{2}}+...+\frac{1}{nS_{n}^{2}}< 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi killerdark68: 07-07-2014 - 17:50

[lahantaithe99]

 

Bài 154: Cho $a,b,c>0$. CMR:

$(1+a+b+c)(1+ab+bc+ca)\geq 4\sqrt{2(a+bc)(b+ca)(c+ab)}$

 

Bài 154.

 

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

 

$(a+bc)(b+ac)\leqslant \frac{(a+bc+b+ac)^2}{4}=\frac{(a+b)^2(c+1)^2}{4}$

 

Suy ra $4\sqrt{2(a+bc)(b+ac)(c+ab)}\leqslant 2\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)(a+1)(b+1)(c+1)}$ $(1)$

 

Lại có 

 

$(1+a+b+c)(1+ab+bc+ac)=1+a+b+c+ab+bc+ac+(ab+bc+ac)(a+b+c)$

 

$=1+a+b+c+ab+bc+ac+abc+(a+b)(b+c)(c+a)$

 

$=(a+1)(b+1)(c+1)+(a+b)(b+c)(c+a)\geqslant 2\sqrt{(a+1)(b+1)(c+1)(a+b)(b+c)(c+a)}$

 

($AM-GM$) $(2)$

 

Từ $(1);(2)$ ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 04-07-2014 - 20:05

[mnguyen99]

 

Bài 189/ cho a,b,c$\geq$ 0 và a+b+c=1.CMR $0\leq ab+cb+ca+2abc\leq \frac{7}{27}$

 

MÌnh nghĩ phải là $\frac{11}{27}$

 

Cm:áp dụng cosi

$VT\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}+2\frac{(a+b+c)^{3}}{27}=\frac{11}{27}$

Dấu = là x=y=z=$\frac{1}{3}$

[nguyenhongsonk612]

Bài 153: CMR với mọi $a,b,c>0$ ta luôn có:

$(a+\frac{bc}{a})(b+\frac{ca}{b})(c+\frac{ab}{c})\geq 4\sqrt[3]{(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)}$

Ok, đã xong!

Giải:

Nhân $2$ vế của BĐT cần chứng minh với $abc>0$ ta được:

$(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)\geq 4abc\sqrt[3]{(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)}\Leftrightarrow [(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)]^3\geq 64a^3b^3c^3(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)$

Ta sẽ đi chứng minh BĐT đó.

Ta có:

$(a^2+bc)(b^2+ca)=ab(c^2+ab)+c(a^3+b^3)\geq 2\sqrt{abc(a^3+b^3)(c^2+ab)}$

$(b^2+ca)(c^2+ab)=bc(a^2+bc)+a(b^3+c^3)\geq 2\sqrt{abc(a^2+bc)(b^3+c^3)}$

$(c^2+ab)(a^2+bc)=ca(b^2+ca)+b(c^3+a^3)\geq 2\sqrt{abc(b^2+ca)(c^3+a^3)}$

$\Rightarrow [(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)]^2\geq 8\sqrt{a^3b^3c^3(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)}$

$\Leftrightarrow [(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)]^4\geq 64a^3b^3c^3(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)\Leftrightarrow [\prod (a^2+bc)]^3\geq 64a^3b^3c^3\prod (a^3+b^3)$ (Đpcm)

Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c>0$

[Dam Uoc Mo]

Bài 191:Cho a,b,c là các số thực.CMR: $\left ( \prod (a+b-c) \right )^{2}\geq \prod (a^{2}+b^{2}-c^{2}).$

[lahantaithe99]

Bài 191:Cho a,b,c là các số thực.CMR: $\left ( \prod (a+b-c) \right )^{2}\geq \prod (a^{2}+b^{2}-c^{2}).$

Bạn tham khảo ở đây nhé

http://diendantoanho...b2c2-a2c2a2-b2/