167, cho x,y,z là các số dương thoả x+y+z=xy+yz+zx
CM $\frac{1}{x^{2}+y+1}+\frac{1}{y^{2}+z+1}+\frac{1}{z^{2}+x+1}$ $\leq 1$
167, cho x,y,z là các số dương thoả x+y+z=xy+yz+zx
CM $\frac{1}{x^{2}+y+1}+\frac{1}{y^{2}+z+1}+\frac{1}{z^{2}+x+1}$ $\leq 1$
167, cho x,y,z là các số dương thoả x+y+z=xy+yz+zx
CM $\frac{1}{x^{2}+y+1}+\frac{1}{y^{2}+z+1}+\frac{1}{z^{2}+x+1}$ $\leq 1$
áp dụng bdt Bunyakovsky ta có
$(x^{2}+y+1)(1+y+z^{2})\geq (x+y+z)^{2}\Rightarrow \frac{1}{x^{2}+y+1}\leq \frac{1+y+z^{2}}{(x+y+z)^{2}}$
tương tự $\frac{1}{y^{2}+z+1}\leq \frac{1+z+x^{2}}{(x+y+z)^{2}}$
$\frac{1}{z^{2}+x+1}\leq \frac{1+x+y^{2}}{(x+y+z)^{2}}$
cộng 3 bất dẳng thức trên ta được
$\frac{1}{x^{2}+y+1}+\frac{1}{y^{2}+z+1}+\frac{1}{z^{2}+x+1}\leq \frac{3+x+y+z+x^{2}+y^{2}+z^{2}}{(x+y+z)^{2}}$
ta chỉ cần cm
$3+x+y+z+x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq (x+y+z)^{2}$
$\Leftrightarrow 3+xy+yz+zx+x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq (x+y+z)^{2}$
$\Leftrightarrow 3\leq xy+yz+zx$
do $x+y+z=xy+yz+zx$ và $xy+yz+zx\leq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}$
nên $xy+yz+zx\leq \frac{(xy+yz+zx)^{2}}{3}$
$\Rightarrow xy+yz+zx\geq 3$
bài toán dc cm
p/s bài này mình làm rồi hi hi
Boy đa tình
Bài 168: Cho $a,b,c$ thỏa mãn:$a^2+b^2+c^2=1$.
Tìm GTLN của biểu thức: $A=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$
Bài 169: Cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$\sum \sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}\leq \sqrt{\sum \sqrt{a}.\sum \frac{1}{\sqrt{a}}}$
Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình
166, Cho $a,b$ là các số thực dương thoả $a+b=1$
CMR: $\frac{1}{ab}+\frac{3}{a^2+b^2+ab}\geq 8$
đánh giá điểm rơi
$VT=\frac{9}{3a^2+3b^2+3ab}+\frac{1}{3ab}+\frac{2}{3ab}\geq \frac{16}{3(a+b)^2}+\frac{2}{3.\frac{(a+b)^2}{4}}=8$
166) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương
$\frac{1}{a.b.3}$+$\frac{1}{a^2+b^2+a.b}$ $\geq$ $\frac{4}{4.a.b+a^2+b^2}$=$\frac{4}{1+2.a.b}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương :
2.$\sqrt{a.b}$ $\leq$ $a+b$=1
Suy ra: 4.a.b $\leq$ $(a+b)^2$=1
Suy ra a.b $\leq$ 0,25 <=> a.b.2+1 $\leq$ 1,5
Suy ra: $\frac{4}{1+2.a.b}$ $\geq$ $\frac{8}{3}$
=> $\frac{1}{a.b.3}$+$\frac{1}{a^2+b^2+a.b}$ $\geq$ $\frac{8}{3}$ <=> VT $\geq$ VP (dpcm)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Simpson Joe Donald: 09-04-2014 - 10:52
Câu nói bất hủ nhất của Joker :
Joker để dao vào mồm Gambol nói : Mày muốn biết vì sao tao có những vết sẹo trên mặt hay không ? Ông già tao là .............. 1 con sâu rượu, một con quỷ dữ. Và một đêm nọ , hắn trở nên điên loạn hơn bình thường . Mẹ tao vớ lấy con dao làm bếp để tự vệ . Hắn không thích thế ... không một chút nào . Vậy là tao chứng kiến ... cảnh hắn cầm con dao đi tới chỗ bà ấy , vừa chém xối xả vừa cười lớn . Hắn quay về phía tao và nói ... "Sao mày phải nghiêm túc?". Hắn thọc con dao vào miệng tao. "Hãy đặt nụ cười lên khuôn mặt nó nhé". Và ... "Sao mày phải nghiêm túc như vậy ?"
Bài 168: Cho $a,b,c$ thỏa mãn:$a^2+b^2+c^2=1$.
Tìm GTLN của biểu thức: $A=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$
Bài 169: Cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$\sum \sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}\leq \sqrt{\sum \sqrt{a}.\sum \frac{1}{\sqrt{a}}}$
Bài 169:Ta có:$(\sum \sqrt{a})(\sum \frac{1}{\sqrt{a}})\geq 3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}.3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{abc}}}=9= > \sqrt{(\sum \sqrt{a})(\sum \frac{1}{\sqrt{a}})}\geq 3$
Mà $\sum \sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}\leq \sqrt{3(\sum \frac{a(b+c)}{a^2+bc})}\leq 3< = = > \sum \frac{a(b+c)}{a^2+bc}\leq 3< = > \sum (1-\frac{a(b+c)}{a^2+bc})\geq 0< = > \frac{(a-b)(a-c)}{a^2+bc}+\frac{(b-c)(b-a)}{b^2+ac}+\frac{(c-a)(c-b)}{c^2+ab}\geq 0$
Nhưng bđt này luôn đúng vì đây là Schur mở rộng
Bài 140. Cho $a,b,c,d,e$ là các số thực không âm biết $a+b+c+d+e=5$. Chứng minh : $abc+bcd+cde+dea+eab\leq 5$
Bài 140. Cho $a,b,c,d,e$ là các số thực không âm biết $a+b+c+d+e=5$. Chứng minh : $abc+bcd+cde+dea+eab\leq 5$
Ở đây này
http://diendantoanho...từ-mathlinksro/
Bài 141': Cho $a,b.c$ dương và $abc = 1$. CMR $a + b + c \leq ab +bc +ca$
mod: đề nghị bạn học cách gõ Latex và đặt số bài tương ứng.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chrome98: 12-04-2014 - 17:43
COME ON!!! ENGLAND
La La La.....i dare you ...........lego
141,cho a,b,c không âm thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
Chứng minh: $\sum \frac{a}{a^{2}+2b+3} \leq \frac{1}{2}$
142,Cho x,y,z không âm thỏa mãn $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3$
Tìm Min $\sum \frac{x^{3}}{3y+1}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi congtudung999: 12-04-2014 - 11:43
Bài143. Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn : $xyz=x+y+z+2$
Chứng minh rằng : $\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{xz}\leq \frac{3}{2}$
$cho a,b.c dương và abc = 1 cmr a + b + c \leq ab +bc +ca$
nhớ đánh số thứ tự
Boy đa tình
đánh giá điểm rơi
$VT=\frac{9}{3a^2+3b^2+3ab}+\frac{1}{3ab}+\frac{2}{3ab}\geq \frac{16}{3(a+b)^2}+\frac{2}{3.\frac{(a+b)^2}{4}}=8$
t chưa biết rõ cách chọn điểm rơi của bđt này,bn nói rõ hộ t với
Khánh Huyền
AMSTERDAM
$144$,(Tự sáng tác ^^) Với $a,b,c>0$ tmđk $3a+5b+8c=1$
CMR; $(1-a)^{3}(1-b)^{5}(1-c)^{8} \geqslant 15^{16}a^{3}b^{5}c^{8}$
@Viet Hoang 99: Chú ý không kẹp $$ vào trong tiếng Việt có dấu.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 13-04-2014 - 09:28
Khánh Huyền
AMSTERDAM
t chưa biết rõ cách chọn điểm rơi của bđt này,bn nói rõ hộ t với
Chọn điểm rơi ở đây tức là chọn giá trị của biến để biểu thức đạt Max - Min cần tìm hay thỏa mãn BĐT đã cho.
Đối với những bài có biểu thức đối xứng giữa các biến (như bài của bạn chẳng hạn) thì điểm rơi thường là các biến bằng nhau.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 13-04-2014 - 11:19
Bài143. Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn : $xyz=x+y+z+2$
Chứng minh rằng : $\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{xz}\leq \frac{3}{2}$
Cái chỗ $xz$ kia chắc là $\sqrt{xz}$
Từ giả thiết thu được $\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}=2$ (cái này tính toán thử ra bao nhiêu TH mới phát hiện ra)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có
$(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}})^2\leqslant (\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1})(\frac{x+1}{xyz}+\frac{y+1}{xyz}+\frac{z+1}{xyz})$
$=\frac{2(x+y+z+3)}{xyz}=\frac{2(xyz+1)}{xyz}=2+\frac{2}{xyz}$
Từ giả thiết ta dễ chứng minh $xyz\geqslant 8\Rightarrow 2+\frac{2}{xyz}\leqslant \frac{9}{4}$
Do đó $(\sum \frac{1}{\sqrt{xy}})^2\leqslant \frac{9}{4}\Rightarrow \sum \frac{1}{\sqrt{xy}}\leqslant \frac{3}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 16-04-2014 - 20:06
Bài 141': Cho $a,b.c$ dương và $abc = 1$. CMR $a + b + c \leq ab +bc +ca$
mod: đề nghị bạn học cách gõ Latex và đặt số bài tương ứng.
Bài 141: Từ $abc=1\Rightarrow b=\frac{1}{ac}$
BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow a+c+\frac{1}{ac}\leq \left (a +c \right )\frac{1}{ac}+ac\Leftrightarrow \left ( 1-b \right )\left ( 1-a \right )\left ( 1-c \right )\geq 0$
Cái BĐT này ...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phuong Thu Quoc: 18-04-2014 - 14:45
Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối
Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.
$144$,(Tự sáng tác ^^) Với $a,b,c>0$ tmđk $3a+5b+8c=1$
CMR; $(1-a)^{3}(1-b)^{5}(1-c)^{8} \geqslant 15^{16}a^{3}b^{5}c^{8}$
@Viet Hoang 99: Chú ý không kẹp $$ vào trong tiếng Việt có dấu.
Ta có :$(1-a)^3(1-b)^5(1-c)^8=(3a+5b+8c-a)^3(3a+5b+8c-b)^5(3a+5b+8c-c)^8=(2a+5b+8c)^3(3a+4b+8c)^5(3a+5b+7c)^8$
Theo Cosi thì $(2a+5b+8c)^3(3a+4b+8c)^5(3a+5b+7c)^8\geq (15\sqrt[15]{a^2b^5c^8})^3(15\sqrt[15]{a^3b^4c^8})^5(15\sqrt[15]{a^3b^5c^7})^8=(15^{16})(a^3b^5c^8)$
Dấu = khi $a=b=c=\frac{1}{16}$
$144$,(Tự sáng tác ^^) Với $a,b,c>0$ tmđk $3a+5b+8c=1$
CMR; $(1-a)^{3}(1-b)^{5}(1-c)^{8} \geqslant 15^{16}a^{3}b^{5}c^{8}$
@Viet Hoang 99: Chú ý không kẹp $$ vào trong tiếng Việt có dấu.
Bài 141: Từ $abc=1\Rightarrow b=\frac{1}{ac}$
BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow a+c+\frac{1}{ac}\leq \left (a +c \right )\frac{1}{ac}+ac\Leftrightarrow \left ( 1-b \right )\left ( 1-a \right )\left ( 1-c \right )\geq 0$
Cái BĐT này luôn đúng..
Bài này sai đề, chắc anh Phuong Thu Quoc có nhầm lẫn gì đó.
Vd như $a=\frac{1}{2};b=\frac{1}{4};c=8$ thì BĐT đâu có đúng?
Ta có :$(1-a)^3(1-b)^5(1-c)^8=(3a+5b+8c-a)^3(3a+5b+8c-b)^5(3a+5b+8c-c)^8=(2a+5b+8c)^3(3a+4b+8c)^5(3a+5b+7c)^8$
Theo Cosi thì $(2a+5b+8c)^3(3a+4b+8c)^5(3a+5b+7c)^8\geq (15\sqrt[15]{a^2b^5c^8})^3(15\sqrt[15]{a^3b^4c^8})^5(15\sqrt[15]{a^3b^5c^7})^8=(15^{16})(a^3b^5c^8)$
Dấu = khi $a=b=c=\frac{1}{16}$
$150$ C2: Bdt can CM
$<=> (\frac{1-a}{a})^{3}(\frac{1-b}{b})^{5}(\frac{1-c}{c})^{8} \geq 15^{16}$
Đặt $\left\{\begin{matrix} x=\frac{a}{1-a} & & \\ y=\frac{b}{1-b}& & \\ z=\frac{c}{1-c}& & \end{matrix}\right. => a=\frac{x}{1+x};b=\frac{y}{1+y};c=\frac{z}{1+z}$ và $x,y,z>0$ tm $\frac{3x}{1+x}+\frac{5y}{1+y}+\frac{8z}{1+z}=1$
CM:$x^{3}y^{5}z^{8}\leqslant \frac{1}{15^{16}}$
Mà $1=\frac{3x}{1+x}+\frac{5y}{1+y}+\frac{8z}{1+z}=\frac{x}{1+x}+\frac{x}{1+x}+\frac{x}{1+x}+\frac{y}{1+y}+\frac{y}{1+y}+\frac{y}{1+y}+\frac{y}{1+y}+\frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z}+\frac{z}{1+z}+\frac{z}{1+z}+\frac{z}{1+z}+\frac{z}{1+z}+\frac{z}{1+z}+\frac{z}{1+z}+\frac{z}{1+z}$
và $\frac{1}{1+x}=1-\frac{x}{1+x}\geq 15\frac{\sqrt[15]{x^{2}y^{5}z^{8}}}{\sqrt[15]{(1+x)^{2}(1+y)^{5}(1+z)^{8}}}$
CMTT Nhân theo từng vế =>dpcm
Chú ý: Gõ công thức toán kẹp $ vào đầu và cuối, không kẹp vào phần tiếng Việt,
Thêm nữa là gõ tiếng Việt có dấu. (Mà bạn gõ cứ như kiểu nhớ công thức toán ấy, toàn bị thiếu ngoặc " } " ở cuối)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 19-04-2014 - 12:03
Khánh Huyền
AMSTERDAM
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh