Cho \[P=\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)-abc\] với a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu $a+b+c\vdots 4$ thì $P\vdots 4$
Cho \[P=\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)-abc\] với a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu $a+b+c\vdots 4$ thì $P\vdots 4$
Cho \[P=\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)-abc\] với a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu $a+b+c\vdots 4$ thì $P\vdots 4$
cái này hình như là +
nếu thế thì $(a+b)(b+c)(c+a)=\frac{(a+b+c)^{3}-(a+b+c)(\sum a^{2}-\sum ab)}{3}-abc$
$\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)+abc=\frac{(a+b+c)^{3}-(a+b+c)(\sum a^{2}-\sum ab)}{3}\vdots 4$
Chuyên Vĩnh Phúc
Đặt a+b+c=4k => P=(4k-a).(4k-b).(4k-c)-abc$\equiv -2abc$
Giả sừ cả ba số a,b,c lẻ thì a+b+c lẻ (vô lý do a+b+c $\vdots 4$)
Nên 1 trong ba số a,b,c là số chẵn => abc$\vdots 2$ => 2abc$\vdots 4$
Vậy P$\equiv$0(mod4) => đpcm
cái này hình như là +
nếu thế thì $(a+b)(b+c)(c+a)=\frac{(a+b+c)^{3}-(a+b+c)(\sum a^{2}-\sum ab)}{3}-abc$
$\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)+abc=\frac{(a+b+c)^{3}-(a+b+c)(\sum a^{2}-\sum ab)}{3}\vdots 4$
Đương nhiên cách này đúng và hay! Cảm ơn bạn nhiều!
Đặt a+b+c=4k => P=(4k-a).(4k-b).(4k-c)-abc$\equiv -2abc$
Giả sừ cả ba số a,b,c lẻ thì a+b+c lẻ (vô lý do a+b+c $\vdots 4$)
Nên 1 trong ba số a,b,c là số chẵn => abc$\vdots 2$ => 2abc$\vdots 4$
Vậy P$\equiv$0(mod4) => đpcm
Cách này thật đơn giản!, cảm ơn bạn!
0 members, 1 guests, 0 anonymous users