Chủ đề này có 4 trả lời

[hochoidetienbo]

Cho \[P=\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)-abc\]  với a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu $a+b+c\vdots 4$ thì $P\vdots 4$

 

 

[buiminhhieu]

Cho \[P=\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)-abc\]  với a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu $a+b+c\vdots 4$ thì $P\vdots 4$

cái này hình như là +

nếu thế thì $(a+b)(b+c)(c+a)=\frac{(a+b+c)^{3}-(a+b+c)(\sum a^{2}-\sum ab)}{3}-abc$

$\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)+abc=\frac{(a+b+c)^{3}-(a+b+c)(\sum a^{2}-\sum ab)}{3}\vdots 4$

[davidsilva98]

Đặt a+b+c=4k  => P=(4k-a).(4k-b).(4k-c)-abc$\equiv -2abc$

Giả sừ cả ba số a,b,c lẻ thì a+b+c lẻ (vô lý do a+b+c $\vdots 4$)

Nên 1 trong ba số a,b,c là số chẵn => abc$\vdots 2$ => 2abc$\vdots 4$

Vậy P$\equiv$0(mod4) => đpcm

[hochoidetienbo]

cái này hình như là +

nếu thế thì $(a+b)(b+c)(c+a)=\frac{(a+b+c)^{3}-(a+b+c)(\sum a^{2}-\sum ab)}{3}-abc$

$\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)+abc=\frac{(a+b+c)^{3}-(a+b+c)(\sum a^{2}-\sum ab)}{3}\vdots 4$

Đương nhiên cách này đúng và hay! Cảm ơn bạn nhiều!

[hochoidetienbo]

Đặt a+b+c=4k  => P=(4k-a).(4k-b).(4k-c)-abc$\equiv -2abc$

Giả sừ cả ba số a,b,c lẻ thì a+b+c lẻ (vô lý do a+b+c $\vdots 4$)

Nên 1 trong ba số a,b,c là số chẵn => abc$\vdots 2$ => 2abc$\vdots 4$

Vậy P$\equiv$0(mod4) => đpcm

Cách này thật đơn giản!, cảm ơn bạn!