Chủ đề này có 2 trả lời

[hoangtubatu955]

Cho $a,b,c>-1$. Chứng minh rằng:
$\frac{1+a^2}{1+b+c^2}+\frac{1+b^2}{1+c+a^2}+\frac{1+c^2}{1+a+b^2} \ge 2$

 

p.s: Đề học kì nhà mình

[Hoang Tung 126]

Theo bđt Bunhiacopxki có :$\sum \frac{1+a^2}{1+b+c^2}=\sum \frac{(a^2+1)^2}{(a^2+1)(1+b+c^2)}\geq \frac{(\sum a^2+3)^2}{\sum (a^2+1)(1+b+c^2)}\geq 2< = > (\sum a^2+3)^2\geq 2\sum (a^2+1)(1+b+c^2)< = > (\sum a^2)^2+6\sum a^2+9\geq 2(2\sum a^2+\sum a^2b+\sum a^2c^2+3+\sum a)< = > \sum a^4+2\sum a^2+3\geq 2\sum a+2\sum a^2b$

Luôn đúng do theo bđt AM-GM có :$\sum a^2+3\geq 2\sum a,a^4+b^2\geq 2a^2b,b^4+c^2\geq 2b^2c,c^4+a^2\geq 2c^2a$

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

[buiminhhieu]

Cho $a,b,c>-1$. Chứng minh rằng:
$\frac{1+a^2}{1+b+c^2}+\frac{1+b^2}{1+c+a^2}+\frac{1+c^2}{1+a+b^2} \ge 2$

 

p.s: Đề học kì nhà mình

áp dụng BĐT cosi $b\leq \frac{b^{2}+1}{2}$

quy đồng ta được $\sum \frac{1+a^{2}}{1+b^{2}+2(1+c^{2})}$

đến đây đặt ần phụ x,y,z ra được $\sum \frac{x}{y+2z}\geq 2$(bđt xvac)