Chủ đề này có 2 trả lời

[ilovemath97]

Cho tam giác $ABC$. Điểm $M$ thuộc đoạn $BC$. Gọi $P$ là giao điểm của đường thẳng qua $M$ vuông góc $AB$ và đường thẳng qua $B$ vuông góc $BC$, $Q$ là giao của đường thẳng qua $M$ vuông góc $AC$ và đường thẳng qua $C$ vuông góc $BC$. Lấy $M'$ trên $BC$ để $AM'$ vuông góc $PQ$. CM $BM$=$M'C$.

                                                     .......................................................

(1 bài trong tài liệu lê quý đôn của thầy Trần Quang Hùng, mình tìm đc 1 lời giải nhưng nó ko hay

[nguyenthehoan]

Cho tam giác $ABC$. Điểm $M$ thuộc đoạn $BC$. Gọi $P$ là giao điểm của đường thẳng qua $M$ vuông góc $AB$ và đường thẳng qua $B$ vuông góc $BC$, $Q$ là giao của đường thẳng qua $M$ vuông góc $AC$ và đường thẳng qua $C$ vuông góc $BC$. Lấy $M'$ trên $BC$ để $AM'$ vuông góc $PQ$. CM $BM$=$M'C$.

                                                     .......................................................

(1 bài trong tài liệu lê quý đôn của thầy Trần Quang Hùng, mình tìm đc 1 lời giải nhưng nó ko hay

Ta xét trường hợp khi $P,Q$ nằm ngoài tam giác $ABC$ (các trường hợp khác chứng minh tương tự)

Gọi $S$ là điểm trên đoạn $BC$ sao cho $BS=CM$. Ta sẽ chứng minh $AS\perp PQ$

Gọi $X$ là giao điểm của $MP$ và $BC$ và $O$ là trung điểm của $AM$.

Ta có $PB^{2}=\overline{PX}.\overline{PM}$. Xét phương tích của $P$ với đường tròn đường kính $AM$ ta có ngay $\overline{PX}.\overline{PM}=PO^{2}-AO^{2}$. Do đó $PB^{2}=PO^{2}-AO^{2}$

Lại theo công thức đường trung tuyến ta có $PO^{2}=\frac{PA^{2}+PM^{2}}{2}-AO^{2}$

Vậy $2PB^{2}=PA^{2}+PM^{2}-AM^{2}$. Một cách tương tự ta có 

$2QC^{2}=QA^{2}+QM^{2}-AM^{2}$.

Do đó $2(PB^{2}-QC^{2})=AP^{2}-AQ^{2}+PM^{2}-QM^{2}$

$\Rightarrow AP^{2}-AQ^{2}=MC^{2}-MB^{2}+PB^{2}-QC^{2}$ (1)

Ta có $SP^{2}-SQ^{2}=SB^{2}+PB^{2}-SC^{2}-QC^{2}=MC^{2}-MB^{2}+PB^{2}-QC^{2}$  (2)

Từ (1) và (2) ta có $AP^{2}-AQ^{2}=SP^{2}-SQ^{2}$

Do đó ta có $AS\perp PQ$. Dpcm.

[ilovemath97]

Ta xét trường hợp khi $P,Q$ nằm ngoài tam giác $ABC$ (các trường hợp khác chứng minh tương tự)

ss.png

Gọi $S$ là điểm trên đoạn $BC$ sao cho $BS=CM$. Ta sẽ chứng minh $AS\perp PQ$

Gọi $X$ là giao điểm của $MP$ và $BC$ và $O$ là trung điểm của $AM$.

Ta có $PB^{2}=\overline{PX}.\overline{PM}$. Xét phương tích của $P$ với đường tròn đường kính $AM$ ta có ngay $\overline{PX}.\overline{PM}=PO^{2}-AO^{2}$. Do đó $PB^{2}=PO^{2}-AO^{2}$

Lại theo công thức đường trung tuyến ta có $PO^{2}=\frac{PA^{2}+PM^{2}}{2}-AO^{2}$

Vậy $2PB^{2}=PA^{2}+PM^{2}-AM^{2}$. Một cách tương tự ta có 

$2QC^{2}=QA^{2}+QM^{2}-AM^{2}$.

Do đó $2(PB^{2}-QC^{2})=AP^{2}-AQ^{2}+PM^{2}-QM^{2}$

$\Rightarrow AP^{2}-AQ^{2}=MC^{2}-MB^{2}+PB^{2}-QC^{2}$ (1)

Ta có $SP^{2}-SQ^{2}=SB^{2}+PB^{2}-SC^{2}-QC^{2}=MC^{2}-MB^{2}+PB^{2}-QC^{2}$  (2)

Từ (1) và (2) ta có $AP^{2}-AQ^{2}=SP^{2}-SQ^{2}$

Do đó ta có $AS\perp PQ$. Dpcm.

Cách của mình ko bị phụ thuộc hình vẽ, nhưng dùng vecto là ko hay rồi . Cho mình mượn cái hình

Kí hiệu vt AB là 'AB'. ta có:

$'PQ'.'SA'$=$('PB'+'BM'+'MQ')$.$('SC'+'CA')$=$'PB'.'CA'+'BM'.'SC'+'BM'.'CA'+'MQ'.'SC'$=$'CA'.'PM'+'SC'.'BQ'$

=$('CB'+'BA').'PM'+'SC'.('BC'+'CQ')$=$'CB'.'PM'+'BC'.'SC'$=$'CB'.('PB'+'BM')+'BC'.'SC'$=$'CB'.'BM'+'BC'.'SC'$=$'CB'.('BM+'CS')$

Khi đó AS vuông góc PQ khi và chỉ khi $'PQ'.'SA'='0'$ tương đương với $'BM'+'CS'='0'$ hay $BM=CS$