Chủ đề này có 1 trả lời

[kfcchicken98]

cho a,b,c là 3 canh 1 tam giác, a+b+c=3

CM $\sum \frac{b^{2}+c^{2}}{4a^{2}+2}\geq 1$

[phamquanglam]

$\sum (\frac{b^{2}+c^{2}}{4a^{2}+2}-\frac{1}{3})=\sum \frac{3b^{2}+3c^{2}-4a^{2}-2}{3(4a^{2}+2)}$

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c$

$\Rightarrow 3b^{2}+3c^{2}-4a^{2}-2\leq 3a^{2}+3c^{2}-4b^{2}-2\leq 3a^{2}+3b^{2}-4c^{2}-2$

Và $\frac{1}{3(4a^{2}+2)}\leq \frac{1}{3(4b^{2}+2)}\leq \frac{1}{3(4c^{2}+2)}$

Đây là 2đãy đơn điệu cùng giảm, áp dụng chebyshev: 

$\sum (\frac{b^{2}+c^{2}}{4a^{2}+2}-\frac{1}{3})\geq \frac{1}{3}(3b^{2}+3c^{2}-4a^{2}-2+3a^{2}+3b^{2}-4c^{2}-2+3a^{2}+3c^{2}-4b^{2}-2)\sum \frac{1}{3(4a^{2}+2)}$$\geq (2(a^{2}+b^{2}+c^{2})-6)\sum \frac{1}{3(4a^{2}+2)}$

Mà $2(a^{2}+b^{2}+c^{2})-6\geq 2\frac{(a+b+c)^{2}}{3}-6=6-6=0$

$\Rightarrow \sum (\frac{b^{2}+c^{2}}{4a^{2}+2}-\frac{1}{3})\geq 0$

$\Rightarrow \sum \frac{b^{2}+c^{2}}{4a^{2}+2}\geq 1$(đpcm)

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ a=b=c=1