cho a,b,c là 3 canh 1 tam giác, a+b+c=3
CM $\sum \frac{b^{2}+c^{2}}{4a^{2}+2}\geq 1$
cho a,b,c là 3 canh 1 tam giác, a+b+c=3
CM $\sum \frac{b^{2}+c^{2}}{4a^{2}+2}\geq 1$
$\sum (\frac{b^{2}+c^{2}}{4a^{2}+2}-\frac{1}{3})=\sum \frac{3b^{2}+3c^{2}-4a^{2}-2}{3(4a^{2}+2)}$
Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c$
$\Rightarrow 3b^{2}+3c^{2}-4a^{2}-2\leq 3a^{2}+3c^{2}-4b^{2}-2\leq 3a^{2}+3b^{2}-4c^{2}-2$
Và $\frac{1}{3(4a^{2}+2)}\leq \frac{1}{3(4b^{2}+2)}\leq \frac{1}{3(4c^{2}+2)}$
Đây là 2đãy đơn điệu cùng giảm, áp dụng chebyshev:
$\sum (\frac{b^{2}+c^{2}}{4a^{2}+2}-\frac{1}{3})\geq \frac{1}{3}(3b^{2}+3c^{2}-4a^{2}-2+3a^{2}+3b^{2}-4c^{2}-2+3a^{2}+3c^{2}-4b^{2}-2)\sum \frac{1}{3(4a^{2}+2)}$$\geq (2(a^{2}+b^{2}+c^{2})-6)\sum \frac{1}{3(4a^{2}+2)}$
Mà $2(a^{2}+b^{2}+c^{2})-6\geq 2\frac{(a+b+c)^{2}}{3}-6=6-6=0$
$\Rightarrow \sum (\frac{b^{2}+c^{2}}{4a^{2}+2}-\frac{1}{3})\geq 0$
$\Rightarrow \sum \frac{b^{2}+c^{2}}{4a^{2}+2}\geq 1$(đpcm)
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ a=b=c=1
THPT PHÚC THÀNH K98
Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày
Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay
Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/
My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh