Chủ đề này có 3 trả lời

[Hoang Tung 126]

Giải  hệ phương trình :

  $\sqrt{sin^2x+\frac{1}{sin^2x}}+\sqrt{sin^2y+\frac{1}{sin^2y}}=\sqrt{\frac{20x}{x+y}}$

  $\sqrt{cos^2x+\frac{1}{cos^2x}}+\sqrt{cos^2y+\frac{1}{cos^2y}}=\sqrt{\frac{20y}{x+y}}$

                                                                                             

[Hoang Tung 126]

Bài này mình để đã lâu .Mình xin chữa bài này như sau : Đặt $sinx=a,cosx=b= > a^2+b^2=1$

                                                                                                $siny=c,cosy=d= > c^2+d^2=1$

Cộng theo vế 2 phương trình ta được :

$\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{d^2+\frac{1}{d^2}}=\sqrt{\frac{20x}{x+y}}+\sqrt{\frac{20y}{x+y}}$

Áp dụng bđt Cô:$\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}=\sqrt{a^2+\frac{1}{4a^2}+\frac{1}{4a^2}+\frac{1}{4a^2}+\frac{1}{4a^2}}\geq \sqrt{5\sqrt[5]{\frac{1}{4^4.a^6}}}=\sqrt{5}.\sqrt[10]{\frac{1}{a^6.4^4}}$

Tương tự $\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}\geq \sqrt{5}\sqrt[10]{\frac{1}{b^6.4^4}}$

$= > \sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}\geq \sqrt{5}(\sqrt[10]{\frac{1}{4^4.a^6}}+\sqrt[10]{\frac{1}{4^4.b^6}})=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt[10]{4^4}}(\frac{1}{\sqrt[5]{a^3}}+\frac{1}{\sqrt[5]{b^3}}\geq \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt[5]{16}}.\frac{1}{\sqrt[10]{(ab)^3}}$

Mà $ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}=\frac{1}{2}$

$= > \sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}\geq \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt[5]{16}}.\frac{1}{\sqrt[10]{(\frac{1}{2})^3}}=\sqrt{10}$

Tương tự $\sqrt{c^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{d^2+\frac{1}{d^2}}\geq \sqrt{10}$

Cộng theo vế $= > VT\geq 2\sqrt{10}=\sqrt{40}$

Mặt khác theo bđt Bunhia có :$VP=\frac{\sqrt{20}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x+y}}\leq \frac{\sqrt{20}.\sqrt{2(x+y)}}{\sqrt{x+y}}=\sqrt{40}$

Từ đó dấu = xảy ra khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$$x=y=\frac{-1}{\sqrt{2}}$

[Juliel]

Bài này mình để đã lâu .Mình xin chữa bài này như sau : Đặt $sinx=a,cosx=b= > a^2+b^2=1$

                                                                                                $siny=c,cosy=d= > c^2+d^2=1$

Cộng theo vế 2 phương trình ta được :

$\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{d^2+\frac{1}{d^2}}=\sqrt{\frac{20x}{x+y}}+\sqrt{\frac{20y}{x+y}}$

Áp dụng bđt Cô:$\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}=\sqrt{a^2+\frac{1}{4a^2}+\frac{1}{4a^2}+\frac{1}{4a^2}+\frac{1}{4a^2}}\geq \sqrt{5\sqrt[5]{\frac{1}{4^4.a^6}}}=\sqrt{5}.\sqrt[10]{\frac{1}{a^6.4^4}}$

Tương tự $\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}\geq \sqrt{5}\sqrt[10]{\frac{1}{b^6.4^4}}$

$= > \sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}\geq \sqrt{5}(\sqrt[10]{\frac{1}{4^4.a^6}}+\sqrt[10]{\frac{1}{4^4.b^6}})=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt[10]{4^4}}(\frac{1}{\sqrt[5]{a^3}}+\frac{1}{\sqrt[5]{b^3}}\geq \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt[5]{16}}.\frac{1}{\sqrt[10]{(ab)^3}}$

Mà $ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}=\frac{1}{2}$

$= > \sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}\geq \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt[5]{16}}.\frac{1}{\sqrt[10]{(\frac{1}{2})^3}}=\sqrt{10}$

Tương tự $\sqrt{c^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{d^2+\frac{1}{d^2}}\geq \sqrt{10}$

Cộng theo vế $= > VT\geq 2\sqrt{10}=\sqrt{40}$

Mặt khác theo bđt Bunhia có :$VP=\frac{\sqrt{20}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x+y}}\leq \frac{\sqrt{20}.\sqrt{2(x+y)}}{\sqrt{x+y}}=\sqrt{40}$

Từ đó dấu = xảy ra khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$$x=y=\frac{-1}{\sqrt{2}}$

Bài này VMO vừa rồi mà, đánh giá vế trái bằng $Minkowsky$ thì có lẽ nhanh hơn 

[Hoang Tung 126]

Bài này VMO vừa rồi mà, đánh giá vế trái bằng $Minkowsky$ thì có lẽ nhanh hơn 

Nhưng nếu đánh giá thì $sin,cos$ phải dương chứ