Cho $a,b,c$ là các số thực dương tm $a^3+b^3+c^3-3abc=1$.Tìm min của $A=a^2+b^2+c^2$.
Cho $a,b,c$ là các số thực dương tm $a^3+b^3+c^3-3abc=1$.Tìm min của $A=a^2+b^2+c^2$.
Bắt đầu bởi huou202, 24-12-2013 - 12:11
#2
Đã gửi 24-12-2013 - 13:48
Math Is Love
-
- Thành viên
-
- 620 Bài viết
$\mathfrak{Forever}\ \mathfrak{Love}$
Cho $a,b,c$ là các số thực dương tm $a^3+b^3+c^3-3abc=1$.Tìm min của $A=a^2+b^2+c^2$.
Lâu lắm mới lên diễn đàn!
Ta có:
$$1= a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$$
Đặt $P=a^2+b^2+c^2$ và $x=a+b+c$. Ta sẽ tìm min của $P$
Ta có:
$$ab+bc+ca = \frac{x^2-P}{2}$$
Thay vào ta được: $1=x(P-\frac{x^2-P}{2})$
$$\Leftrightarrow P=\frac{x^2}{3}+\frac{2}{3x}=f(x)$$
$$f'(x)=\frac{2(x^3-1)}{3x^2}$$
Từ đây ta có $f(x) \geq f(1) =1$
Vậy $P_{min}=1$. Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $(a;b;c)=(0;0;1)$ và các hoán vị. $\blacksquare$
- huou202 và trauvang97 thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
