Chủ đề này có 5 trả lời

[NgMinh7c3]

Cho 3 số dương x,y,z chứng minh rằng: $\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{2y+z+x}+\frac{z}{2z+x+y}\leq \frac{3}{4}$

[Trang Luong]

Cho 3 số dương x,y,z chứng minh rằng: $\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{2y+z+x}+\frac{z}{2z+x+y}\leq \frac{3}{4}$

Ta có : $P=\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{2y+x+z}+\frac{z}{2z+x+y} $

Lấy 3 trừ cho $P$  $\Rightarrow \frac{x+y+z}{2x+y+z}+\frac{x+y+z}{2y+x+z}+\frac{z+x+y}{2z+x+y}=\left ( x+y+z \right )\left ( \frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+x+z}+\frac{1}{2z+x+y} \right )\geq \left ( x+y+z \right ).\frac{9}{4x+4y+4z}=\frac{9}{4}$

$\Rightarrow 3-P\geq \frac{9}{4}\Rightarrow P\leq \frac{3}{4}$

[buiminhhieu]

Cho 3 số dương x,y,z chứng minh rằng: $\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{2y+z+x}+\frac{z}{2z+x+y}\leq \frac{3}{4}$

áp dụng $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}(a,b>0)\Rightarrow VT\leq \frac{1}{4}\sum (\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+y})=\frac{3}{4}$

[NgMinh7c3]

cảm ơn các bạn nhiều!

[Viet Hoang 99]

Cho 3 số dương x,y,z chứng minh rằng: $\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{2y+z+x}+\frac{z}{2z+x+y}\leq \frac{3}{4}$

$\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{2y+z+x}+\frac{z}{2z+x+y}=\sum \frac{x}{(x+y)+(x+z)}\leq \sum \frac{x}{4}(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z})=\frac{1}{4}\sum (\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z})=\frac{3}{4}$

(Áp dụng Cauchy-Schwarz)
Dấu = xảy ra khi: $x=y=z$

[OnTuQuocDat]

$\sum \frac{x}{2x+y+z}=\frac{x}{(x+y)(x+z)}\leq \frac{1}{4(x+y)}+\frac{1}{4(x+z)}=\frac{3}{4}$