Chủ đề này có 1 trả lời

[huou202]

Cho $x,y,z$ thoả mãn $x^2+y^2+z^2=1$.Tìm max của $A=x^3+y^3+z^3-3xyz$

 

[neversaynever99]

Ta có

$P=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)=(x+y+z)(1-xy-yz-zx)=(x+y+z)(1-\frac{(x+y+z)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}{2})=(x+y+z)(1-\frac{(x+y+z)^{2}-1}{2})=(x+y+z)(\frac{3}{2}-\frac{(x+y+z)^{2}}{2})$

Đến đây đặt $a=x+y+z$.Như thế ta có

$P=a(\frac{3}{2}-\frac{a^{2}}{2})=\frac{-1}{2}(a^{3}-3a+2)+1=\frac{-1}{2}(a-1)^{2}(a+2)+1\leq 1$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a=1$ $\Rightarrow x=1;y=z=0$ và các hoán vị