Chủ đề này có 1 trả lời

[sasuke4598]

Tìm đa thức $P(x)\in \mathbb{R}[x]$ :

                                                           $P[2.P(x)]=2.P[P(x)]+2P^2(x)$

 

[perfectstrong]

Lời giải:

\[
P\left( {2P\left( x \right)} \right) = 2P\left( {P\left( x \right)} \right) + 2P\left( x \right)^2 \quad \left( 1 \right)
\]

Nếu $P$ là đa thức hằng thì ta tìm được $P\equiv 0$ hoặc $P \equiv -\dfrac{1}{2}$. Ta xét $n=\deg P \ge 1$.

Nếu $n \ge 3$ thì xét hệ số bậc cao nhất 2 vế trong (1) (với $a_n$ là hệ số bậc cao nhất của $P(x)$):

\[
a_n \left( {2a_n } \right)^n  = 2a_n .a_n^n  \Rightarrow 2^n  = 2 \Rightarrow n = 1:\text{ mâu thuẫn}
\]

Do đó $n=1$ hoặc $n=2$. Do đó $P(x)$ nhận vô hạn giá trị nên từ (1), ta suy ra phương trình sau thỏa với vô hạn $x$\[
P\left( {2x} \right) = 2P\left( x \right) + 2x^2 \quad (2)
\]
Cho nên (2) sẽ đúng với mọi $x$. Vì (2) nên $n=2$. Đặt $P(x)=ax^2+bx+c(a \ne 0)$, từ (2), ta có:\[
4ax^2  + 2bx + c = 2ax^2  + 2bx + 2c + 2x^2 \forall x \Rightarrow c = 0
\]
Suy ra $P(x)=ax^2+bx$ với $a,b$ là các hằng số thực, $a \ne 0$.

Thử lại:

Kết luận: