NGÀY 1 :
Bài 1 : Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} y^2+(x-1)^2=\sqrt{x(x+1)}\\ 10x^2+x=2y\sqrt{14x-4} \end{matrix}\right.$$
Câu 2.Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=1,u_{n+1}=\frac{2n-1}{2n+2} u_n$ với $n\geq 2$ và dãy $(v_n)$ xác định bởi $v_n=\sum_{i=1}^n u_i$ .Chứng minh dãy $(v_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Câu 3.Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$.Gọi $D,E$ là tiếp điểm của đường tròn $(I)$ với $BC,AC$.Trên tia đối tia $CB$ lấy $X$.Biết rằng hai đường tròn nội tiếp tam giác $ABX$ và $ACX$ cắt nhau tại hai điểm $P,Q$.Chứng minh rằng:
a)Các đường thẳng $DE$ ,phân giác trong góc $ABC$ và đường trung bình tam giác $ABC$ đồng qui.
b)Đường thẳng $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định khi $X$ đi động trên tia đối tia $CB$.
Câu 4.Trong một hội trường có $2013$ học sinh,mỗi học sinh được đánh một số nguyên dương bất kì không lớn hơn $10^{100}$ lên áo của mình và không có hai học sinh nào đánh cùng một số.Chứng minh rằng từ $2013$ học sinh này ta có thể chọn ra một số học sinh và chia số học sinh đó thành $2$ nhóm sao cho đồng thời $2$ điều kiện sau thỏa mãn:
1)Tổng các số ghi trên áo của học sinh $2$ nhóm này bằng nhau.
2)Tổng bình phương các số được ghi trên áo của học sinh $2$ nhóm này bằng nhau
NGÀY 2 :
Câu 5
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x),\forall x,y \in \mathbb{R}.$$
Câu 6
Cho tam giác $ABC$ có $AB+AC=2BC$.Gọi $M,N$ lần lượt là trung điềm $AB,AC$;$G,I$ lần lượt là trọng tâm và tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.Chứng minh rằng $IG$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$.
Câu 7
Cho số nguyên tố $p$ có dạng $4k+3$ và xét phương trình:
$(p+2)x^2-(p+1)y^2+px+(p+2)y=1$ với $x,y \in \mathbb{N^{*}}.$
Chứng minh rằng phương trình có vô số nghiệm nguyên dương và nếu $(x,y)$ là một nghiệm nguyên dương của phương trình là $x$ chia hết cho $p$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 27-12-2013 - 11:26
