Chủ đề này có 3 trả lời

[Hoang Tung 126]

Cho $a,b,c\geq 0.$ Tìm giá trị lớn nhất của :

   $A=\frac{a^2}{3a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{3b^2+(c+a)^2}+\frac{c^2}{3c^2+(a+b)^2}$

 

[Nguyenhuyen_AG]

Cho $a,b,c\geq 0.$ Tìm giá trị lớn nhất của :

   $A=\frac{a^2}{3a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{3b^2+(c+a)^2}+\frac{c^2}{3c^2+(a+b)^2}$

Giả sử các đại lượng trong $A$ đều xác định. Theo bất đẳng thức AM-GM ta có

\[\frac{a^2}{3a^2+(b+c)^2}=\frac{a^2}{2a^2+[a^2+(b+c)^2]}\le \frac{a^2}{2a^2+2a(b+c)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{a}{a+b+c}.\]

Nên 

\[\sum \frac{a^2}{3a^2+(b+c)^2}\le \frac{1}{2}\left ( \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c} \right )=\frac{1}{2}.\]

Dễ thấy nếu có một số bằng $0$ hai số còn lại bằng nhau và lớn hơn $0$ thì đẳng thức xảy ra. Điều này cho phép ta kết luận giá trị nhỏ nhất cần tìm là $1/2.$

[Kaito Kuroba]

Cho $a,b,c\geq 0.$ Tìm giá trị lớn nhất của :

   $A=\frac{a^2}{3a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{3b^2+(c+a)^2}+\frac{c^2}{3c^2+(a+b)^2}$

bài này không khó nếu chúng ta tinh ý một chút:

phân tích: mẫu số: $3a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}$ tại sao hệ số lại bằng 3

còn hệ số còn lại bằng 1

tách hệ số 3 thành 2 và 1 để áp dụng cauchy để có hệ số chung là 2. mặt khác vì vai trò của a,,b,c như nhau nên biểu thức ta tìm được là hoán vị của chung. Vì đk a,b,c >=0 mà không có đk a+b+c hay $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ nên ta dự đoán rằng biểu thức tìm được sẽ rút gọn hết cho mẫu.

 

 

cách chứng minh:

 ta có:

$\sum \frac{a^{2}}{3a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}}$=$\sum \frac{a^{2}}{2a^{2}+a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}}\leq \sum \frac{a^{2}}{2a^{2}+2a\left ( b+c \right )}$=$\sum \frac{a}{2a+2b+2c}$=$\frac{1}{2}$

 

vậy kết luận:

Max A=$\frac{1}{2}$$\Leftrightarrow a=b; c=0$ hoặc hoán vị của chúng.!!!!!!!!!!1111

[Hoang Tung 126]

bài này không khó nếu chúng ta tinh ý một chút:

phân tích: mẫu số: $3a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}$ tại sao hệ số lại bằng 3

còn hệ số còn lại bằng 1

tách hệ số 3 thành 2 và 1 để áp dụng cauchy để có hệ số chung là 2. mặt khác vì vai trò của a,,b,c như nhau nên biểu thức ta tìm được là hoán vị của chung. Vì đk a,b,c >=0 mà không có đk a+b+c hay $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ nên ta dự đoán rằng biểu thức tìm được sẽ rút gọn hết cho mẫu.

 

 

cách chứng minh:

 ta có:

$\sum \frac{a^{2}}{3a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}}$=$\sum \frac{a^{2}}{2a^{2}+a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}}\leq \sum \frac{a^{2}}{2a^{2}+2a\left ( b+c \right )}$=$\sum \frac{a}{2a+2b+2c}$=$\frac{1}{2}$

 

vậy kết luận:

Max A=$\frac{1}{2}$$\Leftrightarrow a=b; c=0$ hoặc hoán vị của chúng.!!!!!!!!!!1111

Hoặc có cách sau :

 Ta có :$\sum \frac{4a^2}{3a^2+(b+c)^2}=\sum \frac{4a^2}{(2a^2+bc)+(a^2+b^2+c^2)+bc}\leq \sum \frac{(a+a)^2}{(2a^2+bc)+(a^2+b^2+c^2)}\leq \sum \frac{a^2}{2a^2+bc}+\sum \frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\leq 1+1=2= > \sum \frac{a^2}{3a^2+(b+c)^2}\leq \frac{1}{2}$