Chủ đề này có 6 trả lời

[Rikikudo1102]

                               ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

 

Bài 1: (5đ) 

        1/ chứng minh rằng không tồn tại số nguyên n nào thỏa mãn hệ thức sau

                            $n^3+2012n=2014^{2013}+1$

        2/ tìm nghiệm nguyên của phương trình $x^2+4x=y^2+19$

 

Bài 2: (8đ) 

     1/ giải phương trình $6x^2+15x+\sqrt{2x^2+5x+1}=1$

 

    2/ cho $a,b,c$ là các số không âm thỏa mãn $a+b+c=1$

        chứng minh: $b+c\geq 16abc$

 

    3/ cho hệ phương trình $$\left\{\begin{matrix} mx-y=2m & & \\ x-my=m+1 & & \end{matrix}\right $$

 

        a/ Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất $(x;y)$

        b/ Tìm giá trị của m để biểu thức $P=xy$ đạt GTLN.Tính giá trị đó

 

Bài 3: (5đ) cho 2 đường tròn $(O;R)$ và $(O';R')$ tiếp xúc ngoài với nhau tại A (R>R')

                 Vẽ dây AM của (O) và dây AN của (O') vuông góc với nhau. Gọi BC là tiếp tuyến chung                               ngoài  của 2 đường tròn ,B thuộc (O), C thuộc (O')  

           a/ chứng minh $OM//O'N$ và 3 đường thẳng MN, BC , OO' đồng quy

          b/ Xác định vị trí điểm M, N để $S_{MNO'O}$ lớn nhất. Tìm giá trị đó 

 

Bài 4: (2đ) 

               Cho hình vuông ABCD có cạnh là 3 . Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho CM=1.

               đường thẳng AM cắt cạnh DC kéo dài tại P .Đường thẳng DM cắt cạnh AB kéo dài tại Q. BP cắt CQ tại I . Tính BI , CI

 

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Rikikudo1102: 28-12-2013 - 18:27

[buiminhhieu]

    2/ cho $a,b,c$ là các số không âm thỏa mãn $a+b+c=1$

        chứng minh: $b+c\geq 16abc$

Do a+b+c=1

$16abc=4a.(4bc)\leq 4a.(b+c)^{2}\leq (a+b+c)^{2}(b+c)=b+c$

dấu = khi b=c=$\frac{1}{4}$,a=$\frac{1}{2}$

[vuvanquya1nct]

                               ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

 

Bài 2: (8đ) 

     1/ giải phương trình $6x^2+15x+\sqrt{2x^2+5x+1}=1$

 

ĐK..........

Cách 1:Đặt $a=\sqrt{2x^2+5x+1}$

Quy về giải phương trình : $3a^2+a-4=0$

ĐẾn đây OK.

Cách 2:

PT$\Leftrightarrow 3(2x^2+5x)=-\sqrt{2x^2+5x+1}+1$

$\Leftrightarrow 3(2x^2+5x)=-\frac{2x^2+5x}{\sqrt{2x^2+5x+1}+1}$

Đến  đây cũng xong luôn

[Rias Gremory]

                               ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

 

        2/ tìm nghiệm nguyên của phương trình $x^2+4x=y^2+19$

 

Chém câu dễ nhất trước 

$PT\Leftrightarrow (x+2)^{2}=y^{2}+23\Leftrightarrow (x+2-y)(x+2+y)=23$

Đến đây xét TH là OK rồi

[phuocdinh1999]

                               ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

 

Bài 1: (5đ) 

        1/ chứng minh rằng không tồn tại số nguyên n nào thỏa mãn hệ thức sau

                            $n^3+2012n=2014^{2013}+1$

     

 

 

$VT=(n^3-n)+2013n=n(n-1)(n+1)+2013n \vdots 3$

$VP=(2013+1)^{2013}+1 \equiv 1+1 \equiv 2(mod3)$

$\Leftrightarrow VT \not = VP$

[pham thuan thanh]

                               ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

 

 

    2/ cho $a,b,c$ là các số không âm thỏa mãn $a+b+c=1$

        chứng minh: $b+c\geq 16abc$

thay a=1-b-c. bđt cần CM tương đương với $b+c\geq 16\left ( 1-c-b \right )bc\Leftrightarrow b+c+16b^{2}c+16c^{2}b\geq 16bc.$ mà áp dụng bđt AM-GM có :$b+16bc^{2}\geq 8bc$  , $c+16b^{2}c\geq 8bc$  cộng vế suy ra đpcm

[neversaynever99]

Bài 3:

Ta có

 $\widehat{MAN}=90^{\circ}\Rightarrow\widehat{MAO}+\widehat{NAO'}=90^{\circ}$(1);$\Rightarrow \widehat{AMN}+\widehat{ANM}=90^{\circ}$

Từ (1) ta suy ra $\Rightarrow \widehat{OMA}+\widehat{O'NA}=90^{\circ}$

Do đó ta có

$\widehat{OMN}+\widehat{O'NM}=180^{\circ}$

mà 2 góc này lại ở vị trí trong cùng phía$\Rightarrow OM// O'N$

MN  cắt OO'  tại I $\Rightarrow \frac{O'N}{OM}=\frac{IO'}{IO}=\frac{R'}{R}$ (2)

BC cắt OO' tại I' $\Rightarrow \frac{O'C}{OB}=\frac{I'O'}{I'O}=\frac{R'}{R}$   (3)

Từ (2)& (3) $\Rightarrow \frac{IO'}{IO}=\frac{I'O'}{I'O}\Rightarrow \frac{IO'}{IO-IO'}=\frac{I'O'}{I'O-I'O'}$

hay  $\frac{IO'}{OO'}=\frac{I'O'}{OO'}$

$\Rightarrow I\equiv I'$

Từ đó suy ra MN,OO',BC đồng quy

b,

Từ O hạ OH vuông góc với OM tại H.

Ta có

$S_{MNOO'}=\frac{(O'N+OM)OH}{2}=\frac{(R+R')OH}{2}\leq \frac{(R+R')OO'}{2}=\frac{(R+R')^{2}}{2}$

dấu = xảy ra $\Leftrightarrow OM\perp OO'$ 

 

Hình gửi kèm

•