cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn $a+b+c=\sqrt{3}$ . Tìm GTNN của :
A=$\sum \frac{1}{\sqrt{a(b+2c)}}$
Edited by MR MATH, 29-12-2013 - 13:49.
cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn $a+b+c=\sqrt{3}$ . Tìm GTNN của : A=$\sum \frac{1}{\sqrt{a(b+2c)}}$
Started By MR MATH, 29-12-2013 - 08:33
#2
Posted 29-12-2013 - 16:03
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 posts
PQT
cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn $a+b+c=\sqrt{3}$ . Tìm GTNN của :
A=$\sum \frac{1}{\sqrt{a(b+2c)}}$
Lời giải. Ta có $$A= \sqrt 3 \sum \frac{1}{ \sqrt{3a(b+2c)}} \ge \sqrt 3 \sum \frac{2}{3a+b+2c} \ge \frac{18 \sqrt 3}{6(a+b+c)}=3$$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c= \sqrt 3$. $\blacksquare$
- pham thuan thanh and MR MATH like this
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#3
Posted 31-12-2013 - 11:16
pham thuan thanh
-
- Thành viên
-
- 110 posts
Trung sĩ
cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn $a+b+c=\sqrt{3}$ . Tìm GTNN của :
A=$\sum \frac{1}{\sqrt{a(b+2c)}}$
áp dụng bđt AM-GM cho 3 số ta có: $\frac{1}{\sqrt{a\left ( b+2c \right )}}+\frac{1}{\sqrt{a\left ( b+2c \right )}}+a\left ( b+2c \right )\geq 3$ $\Rightarrow \frac{2}{\sqrt{a\left ( b+2c \right )}}\geq 3-a\left ( b+2c \right )\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{a\left ( b+2c \right )}}\geq \frac{3-a\left ( b+2c \right )}{2}$ cmtt rồi cộng vế suy ra $\sum \frac{1}{\sqrt{a\left ( b+2c \right )}}\geq \frac{9-3\sum a\left ( b+2c \right )}{2}$. mặt khác $3\left ( ab+bc+ca \right )\leq \left ( a+b+c \right )^{2}=3\Rightarrow -3\left ( ab+bc+ca \right )\geq -3$ suy ra $\sum \frac{1}{\sqrt{a\left ( b+2c \right )}}\geq \frac{9-3}{2}=3$ . vậy minA=3. dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=$\frac{1}{\sqrt{3}}$
Edited by pham thuan thanh, 31-12-2013 - 11:17.
- stronger steps 99 likes this
Khi tin là có thể là bạn đã đạt được một nửa thành công!
#4
Posted 31-12-2013 - 11:18
pham thuan thanh
-
- Thành viên
-
- 110 posts
Trung sĩ
Lời giải. Ta có $$A= \sqrt 3 \sum \frac{1}{ \sqrt{3a(b+2c)}} \ge \sqrt 3 \sum \frac{2}{3a+b+2c} \ge \frac{18 \sqrt 3}{6(a+b+c)}=3$$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c= \sqrt 3$. $\blacksquare$
chỉ ra dấu bằng nhầm rồi bạn ơi! 
- Zaraki and stronger steps 99 like this
Khi tin là có thể là bạn đã đạt được một nửa thành công!
#5
Posted 31-12-2013 - 21:17
lahantaithe99
-
- Thành viên
-
- 883 posts
Trung úy
cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn $a+b+c=\sqrt{3}$ . Tìm GTNN của :
A=$\sum \frac{1}{\sqrt{a(b+2c)}}$
Theo bất đẳng thức S.Vácxơ
$\sum \frac{1}{\sqrt{a(b+2c)}}\geq \frac{9}{\sum \sqrt{a(b+2c)}}$
Áp dụng bđt Bunhiacopxki
$(\sum \sqrt{a(b+2c)})^2\leq (a+b+c)(b+2c+c+2a+a+2b) \Leftrightarrow (\sum \sqrt{a(b+2c)})^2\leq 3(a+b+c)^2=9 \Leftrightarrow \sum \sqrt{a(b+2c)}\leq 3$
Suy ra A$\geq \frac{9}{3}=3$
Dấu = xảy ra khi a=b=c=$\frac{1}{\sqrt{3}}$
Edited by lahantaithe99, 31-12-2013 - 21:20.
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users
