Cho tứ giác lồi ABCD có AC $\bigcap$ BD = { O}. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác AOD và tam giác BOC. Gọi E, F lần lượt là trọng tâm của tam giác AOB và tam giác COD. Chứng minh rằng HK vuông góc với EF.
#2
Posted 03-01-2014 - 11:16
dkhanhht98
-
- Thành viên
-
- 36 posts
Binh nhất
Hình vẽ
Ta sẽ đi chứng minh $\overrightarrow{EF}.\overrightarrow{HK}=0.(1)$
Thật vậy, ta có
$(1) \Leftrightarrow (\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})(\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OK})=0$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{OH}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OK}.\overrightarrow{AD}$
(điều này đúng do cos($\overrightarrow{OH}, \overrightarrow{BC}$)=cos($\overrightarrow{OK}, \overrightarrow{AD}$))
(cặp góc có cạnh tương ứng vuông góc
và $OH.BC=OK.AD$ (chú ý $\dfrac{OH}{AD}= cot \widehat{AOD}$).
Edited by dkhanhht98, 03-01-2014 - 11:23.
- tranquocluat_ht likes this
2 user(s) are reading this topic
0 members, 2 guests, 0 anonymous users
