hãy chứng minh bất đẳng thức $\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}\geqslant \frac{(a+b)^{2}}{x+y}$ từ bất đẳng thức AM-GM.
Chứng minh bất đẳng thức $\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}\geqslant \frac{(a+b)^{2}}{x+y}$.
#1
Posted 31-12-2013 - 09:43
#2
Posted 31-12-2013 - 10:00
Theo em là bđt NESBIT
#3
Posted 31-12-2013 - 10:53
hãy chứng minh bất đẳng thức $\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}\geqslant \frac{(a+b)^{2}}{x+y}$ từ bất đẳng thức AM-GM.
dùng bđt bunhia...
- Tran Hoai Nghia and stronger steps 99 like this
#4
Posted 31-12-2013 - 11:00
$(\sum_{k=1}^{n}a_{k})^{2}=(\sum_{k=1}^{n}a_{k}\frac{\sqrt{x_{k}}}{\sqrt{x_{k}}})^{2}\leq (\sum_{k=1}^{n}x_{k})(\sum_{k=1}^{n}\frac{a_{k}^{2}}{x_{k}})$
thay k=2 có đpcm
- stronger steps 99 likes this
#5
Posted 31-12-2013 - 11:31
dùng bđt bunhia...
Ý của em là cái này chứ gì:
$(\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y})(x+y)\geqslant (\frac{a}{\sqrt{x}}\sqrt{x}+\frac{b}{\sqrt{y}}\sqrt{y})^{2}=(a+b)^{2}$
(buniakovsky)
điều kiện là x,y dương.
Anh mới biết cách này nhờ pham thanh thuan.
Edited by Tran Hoai Nghia, 31-12-2013 - 11:37.
- pham thuan thanh and vipboycodon like this
SÁCH CHUYÊN TOÁN, LÝ , HÓA
https://www.facebook...toanchuyenkhao/
#6
Posted 31-12-2013 - 11:45
Ý của em là cái này chứ gì:
$(\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y})(x+y)\geqslant (\frac{a}{\sqrt{x}}\sqrt{x}+\frac{b}{\sqrt{y}}\sqrt{y})^{2}=(a+b)^{2}$
(buniakovsky)
điều kiện là x,y dương.
Anh mới biết cách này nhờ pham thanh thuan.
bài này còn dùng cả bđt svac xơ nữa ạ.
- stronger steps 99 likes this
#7
Posted 31-12-2013 - 11:47
bài này còn dùng cả bđt svac xơ nữa ạ.
Nhưng khi thi thì phải chứng minh svác-xơ. Nên biến đổi tương đương thì hay hơn.
- Yagami Raito and Tran Hoai Nghia like this
#8
Posted 31-12-2013 - 11:49
Nhưng khi thi thì phải chứng minh svác-xơ. Nên biến đổi tương đương thì hay hơn.
^^.
- stronger steps 99 likes this
#9
Posted 31-12-2013 - 11:54
Mấy bạn ơi . Nếu đi thi mà dùng cái khác quên chứng minh thì có được tính không hay là bị trừ mất bao nhiêu điểm .
Tại năm nay đi thi nên hỏi cho biết.
Xin đừng xóa bài này nhá. Tại mình mới dô nên không biết gửi chỗ nào.
#10
Posted 31-12-2013 - 12:08
với x, y $>$ 0
Ta có: (ad)2 + (bc)2 $\geq$ 2abcd
<=> (ac)2 + (bd)2 + (ad)2 + (bc)2 $\geq$ 2abcd + (ac)2 + (bd)2
<=> a2(c2 + d2) + b2(c2 + d2) $\geq$ (ac + bd)2
<=> (a2 + b2)(c2 + d2) $\geq$ (ac + bd)2
Thay c bởi $\sqrt{x}$, d bởi $\sqrt{y}$ , a bởi $\frac{a}{\sqrt{x}}$, b bởi $\frac{b}{\sqrt{y}}$ ta có
($\frac{a^{2}}{x}$ + $\frac{b^{2}}{y}$)(x + y) $\geq (a + b)^{2}$
<=> $\frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y} \geq \frac{(a + b)^{2}}{x + y}$(đpcm)
#11
Posted 31-12-2013 - 12:15
Ý của em là cái này chứ gì:
$(\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y})(x+y)\geqslant (\frac{a}{\sqrt{x}}\sqrt{x}+\frac{b}{\sqrt{y}}\sqrt{y})^{2}=(a+b)^{2}$
(buniakovsky)
điều kiện là x,y dương.
Anh mới biết cách này nhờ pham thanh thuan.
bài này còn dùng cả bđt svac xơ nữa ạ.
Điều kiện BĐT s_vac là mẫu dương nếu làm thế này thì???
có lẽ đề thiếu
- pham thuan thanh, stronger steps 99 and hoangmanhquan like this
Chuyên Vĩnh Phúc
#12
Posted 31-12-2013 - 12:53
Điều kiện BĐT s_vac là mẫu dương nếu làm thế này thì???
có lẽ đề thiếu
uk. cần đk mẫu dương
- stronger steps 99 likes this
#13
Posted 31-12-2013 - 13:17
Mấy bạn ơi . Nếu đi thi mà dùng cái khác quên chứng minh thì có được tính không hay là bị trừ mất bao nhiêu điểm .
Tại năm nay đi thi nên hỏi cho biết.
Xin đừng xóa bài này nhá. Tại mình mới dô nên không biết gửi chỗ nào.
Bài làm sẽ không tính điểm.
Về phần bất đẳng thức thì chỉ cho xài AM-GM( hay gọi là cô si) cho 2,3 số; buniakovsky cho 2 bộ số thôi, mấy cái khác thì miễn bàn.
- mrwin99 and vipboycodon like this
SÁCH CHUYÊN TOÁN, LÝ , HÓA
https://www.facebook...toanchuyenkhao/
#14
Posted 01-01-2014 - 20:19
bài này còn dùng cả bđt svac xơ nữa ạ.
Cái này chính là Schwarz dạng hai số đó bạn ạ (người ta còn gọi là Cauchy-Schwarz dạng Engel)
It is the quality of one's convictions that determines success, not the number of followers
#15
Posted 01-01-2014 - 20:20
Theo em là bđt NESBIT
????
It is the quality of one's convictions that determines success, not the number of followers
#16
Posted 01-01-2014 - 20:32
hãy chứng minh bất đẳng thức $\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}\geqslant \frac{(a+b)^{2}}{x+y}$ từ bất đẳng thức AM-GM.
Mình xin nêu cách chứng minh tổng quát bài này (bằng BĐT Cauchy-Schwarz)
Cho hai bộ số thực $(a_{1};a_{2};..........;a_{n})$ và $(b_{1};b_{2};..........;b_{n})$ trong đó bộ thứ hai dương. Ta có:
$\sum \frac{a_{1}^{2}}{b_{1}}\geq \frac{(a_{1}+.+a_{n})^{2}}{b_{1}+....+b_{n}}$
Chứng minh: Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz cho hai bộ số:
$(\frac{a_{1}}{\sqrt{b_{1}}};....;\frac{a_{n}}{\sqrt{b_{n}}})$ và ($\sqrt{b_{1}};.....;\sqrt{b_{n}}$)
Ta có đpcm.
It is the quality of one's convictions that determines success, not the number of followers
#17
Posted 02-01-2014 - 15:37
Cái này chính là Schwarz dạng hai số đó bạn ạ (người ta còn gọi là Cauchy-Schwarz dạng Engel)
có sách cũng viết đấy là bdt svac xơ.
#18
Posted 02-01-2014 - 17:03
hãy chứng minh bất đẳng thức $\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}\geqslant \frac{(a+b)^{2}}{x+y}$ từ bất đẳng thức AM-GM.
Đây chính là bđt Cauchy-Swtach được chứng minh = bđt Bunhiacopxki
#19
Posted 04-01-2014 - 09:00
có sách cũng viết đấy là bdt svac xơ.
Schwarz là tên thật, còn svac xơ là cách đọc của Schwarz thôi mà. Giống nhau.......
It is the quality of one's convictions that determines success, not the number of followers
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users