UCLN (a,b)=1; b là số lẻ. CMR UCLN($n^{a}+1, n^{b}-1$) $\leq 2$ với mọi số tự nhiên n
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kfcchicken98: 31-12-2013 - 12:29
UCLN (a,b)=1; b là số lẻ. CMR UCLN($n^{a}+1, n^{b}-1$) $\leq 2$ với mọi số tự nhiên n
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kfcchicken98: 31-12-2013 - 12:29
UCLN (a,b)=1; b là số lẻ. CMR UCLN($n^{a}+1, n^{b}+1$) $\leq 2$ với mọi số tự nhiên n
đề sai rồi cho a=3,b=5 ,n=2 thì vô lí
đề phải là b chẵn mới làm được chứ
Chuyên Vĩnh Phúc
Lời giải.
Bổ đề. Cho $a,m,n \in \mathbb{N}^*$ thì $\left( a^m-1,a^n-1 \right)=a^{(m,n)}-1$.
Chứng minh. Gọi $\left( a^m-1,a^n-1 \right)=d$
Theo định lý Bezout, luôn tồn tại hai số nguyên $x,y$ thoả mãn $mx+bn=\gcd (m,n)$.
Do đó $a^{\gcd (m,n)}-1=a^{mx+bn}-1=a^{bn} \left( a^{mx}-1 \right)+a^{bn}-1$ chia hết cho $d$ vì $d|a^{mx}-1,d|a^{bn}-1$.
Ta dễ dàng suy ra nếu $k|a^{(m,n)}-1$ thì $k|a^m-1,k|a^n-1$.
Vậy $\left( a^m-1,a^n-1 \right)=a^{(m,n)}-1$.
=========================================
Quay lại bài toán. Gọi $d= \gcd \left( n^a+1,n^b-1 \right)$ thì $d|n^b-1+n^a+1 \Rightarrow d|n^{|a-b|}+1$ (vì $(d,n)=1$).
Lại có $d|n^a+1$ nên duy ra $d|n^a-n^{|a-b|} \Rightarrow d|n^{|a-|a-b||}-1$ (vì $(d,n)=1$).
Mà $d|n^b-1$ nên $d| \left( n^{|a-|a-b||}-1,n^b-1 \right) \Rightarrow d|n-1$ (dễ dàng chứng minh $\gcd \left( b,|a-|a-b|| \right)=1$). Vậy $d|n^a-1$ dẫn đến $d|2$.
Như vậy $\gcd \left(n^a+1,n^b-1 \right) \le 2$. $\blacksquare$
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh