Chủ đề này có 1 trả lời

[hades]

Cho x, y, z là 3 số thực dương. Chứng minh rằng

$\frac{1}{3}\left ( \frac{yz}{x^{2}}+\frac{zx}{y^{2}}+\frac{xy}{z^{2}} \right )+\left ( \frac{xyz(x+y+z)}{x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+x^{2}z^{2}} \right )^{2}\geq 2$

[Hoang Tung 126]

Cho x, y, z là 3 số thực dương. Chứng minh rằng

$\frac{1}{3}\left ( \frac{yz}{x^{2}}+\frac{zx}{y^{2}}+\frac{xy}{z^{2}} \right )+\left ( \frac{xyz(x+y+z)}{x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+x^{2}z^{2}} \right )^{2}\geq 2$

Chuẩn hóa $xyz=1$

BĐT $< = > \frac{1}{3}.\frac{\sum y^3z^3}{x^2y^2z^2}+\frac{x^2y^2z^2(\sum x)^2}{(\sum x^2y^2)^2}\geq 2< = > \frac{\sum x^3y^3}{3}+\frac{(\sum x)^2}{(\sum x^2y^2)^2}\geq 2$

Theo bđt Cosi có :$\frac{\sum x^3y^3}{3}+\frac{(\sum x)^2}{(\sum x^2y^2)^2}\geq \frac{\sum x^3y^3}{3}+\frac{9}{(\sum x^2y^2)^2}\geq \frac{(\sum xy)(\sum x^2y^2)}{9}+\frac{9}{(\sum x^2y^2)^2}\geq \frac{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}(\sum x^2y^2)}{9}+\frac{9}{(\sum x^2y^2)^2}=\frac{\sum x^2y^2}{3}+\frac{9}{(\sum x^2y^2)^2}=\frac{a}{3}+\frac{9}{a^2}$(Với $a=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\geq 3$

Do đó ta cần CM :$\frac{a}{3}+\frac{9}{a^2}\geq 2< = > a^3-6a^2+27\geq 0< = > a^2(a-3)-3(a-3)(a+3)\geq 0< = > (a-3)(a^2-3a-9)\geq 0$(Đúng)