Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^{4}-2y^{2}=1$
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^{4}-2y^{2}=1$
#1
Posted 03-01-2014 - 20:36
#2
Posted 03-01-2014 - 21:03
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^{4}-2y^{2}=1$
Dễ thấy $x$ lẻ, suy ra $x^2\equiv 1\left ( mod4 \right ) \Rightarrow x^2=4k+1$
Ta có: $\left ( 4k+1 \right )^2-1=2y^2 \Leftrightarrow 2.2k\left ( 2k+1 \right )=y^2$
Vì $2k$ và $2k+1$ là hai số nguyên liên tiếp nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $k=y=0$
Suy ra $x=\pm 1;y=0$
Edited by phatthemkem, 06-01-2014 - 09:36.
- Juliel likes this
“Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại
ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot
“Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn
những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”
-Mark Twain
Huỳnh Tiến Phát ETP
$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39
#3
Posted 05-01-2014 - 20:57
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^{4}-2y^{2}=1$
Mình có một lời giải kinh khủng cho bài toán này, nhưng thấy nó khá hay !
Lời giải :
Dễ thấy phương trình có các nghiệm tầm thường $(1,0),(-1,0)$
Đặt $x^2=t$ ta được phương trình $t^2-2y^2=1$. Đây chính là phương trình $Pell$, nghiệm nhỏ nhất của nó là $(3,2)$ nên mọi nghiệm nguyên dương $(t_k,y_k)$ của nó được xác định bởi công thức $$(3+2\sqrt{2})^k=t_k+y_k\sqrt{2}$$.
Nhưng để thỏa mãn phương trình ban đầu có nghiệm nguyên thì $t_k$ phải chính phương với mọi $k$ nguyên dương.
Xét khai triển $$\left ( 3+2\sqrt{2} \right )^{n}=3^n+C_{n}^{1}3^{n-1}.2\sqrt{2}+...+(2\sqrt{2})^{n}$$
Khi đó hiển nhiên
$$t_{n}=3^{n}+C_{n}^{2}3^{n-2}(2\sqrt{2})^2+...+(2\sqrt{2})^{n}\equiv 3^{n}\;\;(mod\;4)$$
Mà vì $t_n$ chính phương nên $t_{n}\equiv 0,1\;(mod\;4)\Rightarrow 3^n\equiv 0,1\;(mod\;4)$. Vậy phải có $n$ chẵn.
Vì vậy ta xét khai triển $(3+2\sqrt{2})^{2k}=t_k+y_{k}\sqrt{2}$. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng $t_{k}\equiv 7\;(mod\;10)$ và $y_k^2\equiv 4\;(mod\;10)$ $(*)$
Thật vậy, giả sử điều này đúng đến $k$, xét với $k+1$ :
$$t_{k+1}+y_{k+1}\sqrt{2}=(t_k+y_k\sqrt{2})^{2}=t_k^2+2y_{k}^2+2t_ky_k\sqrt{2}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} t_{k+1}=t_k^2+2y_{k}^2 & & \\ y_{k+1}=2t_ky_k& & \end{matrix}\right.$$
Từ đó ta suy ra rằng $$t_{k+1}=t_k^2+2y_k^2\equiv 7^{2}+2.4\equiv 7\;(mod\;10)$$ và $$y_{k+1}^2=(2t_ky_k)^2= 4.t_k^2.y_k^2\equiv 4.7^2.4\equiv 4\;(mod\;10)$$
Theo nguyên lí quy nạp thì mệnh đề $(*)$ là đúng. Tức là ta luôn có $t_{k}\equiv 7\;(mod\;10)$ với mọi $k$ nguyên dương, nên $t_k$ không thể là số chính phương, dẫn đến phương trình ban đầu không thế có nghiệm nguyên.
Kết luận : $\boxed{(x,y)=(1,0),(-1,0)}$
Edited by Juliel, 05-01-2014 - 21:02.
- tranquocluat_ht, Zaraki, phatthemkem and 4 others like this
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
#4
Posted 05-01-2014 - 21:07
Dễ thấy $x$ lẻ, suy ra $x^2\equiv 1\left ( mod4 \right ) \Rightarrow x^2=4k+1$
Ta có: $\left ( 4k+1 \right )^2-1=2y^2 \Leftrightarrow 2.2k\left ( 2k+1 \right )=y^2$
Vì $k$ và $2k+1$ là hai số nguyên liên tiếp nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $k=y=0$
Suy ra $x=\pm 1;y=0$
Bài làm chưa ổn lắm Phát ơi ! Một số chính phương thì không thể là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nhưng không có nghĩa nó không chia hết cho tích hai số tự nhiên liên tiếp !
- cuongt1k23 likes this
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
#5
Posted 05-01-2014 - 23:51
#6
Posted 06-01-2014 - 09:33
Mình có một lời giải kinh khủng cho bài toán này, nhưng thấy nó khá hay !
Mình sủa lại bài làm của mình tí nhé, bạn xem hợp lý không
Từ $4k\left ( 2k+1 \right )=y^2$ suy ra $k\left ( 2k+1 \right )$ là số chính phương.
Mặc khác $\forall k\in \mathbb{Z};k\neq 0$ thì $k$ và $2k+1$ nguyên tố cùng nhau nên...
“Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại
ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot
“Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn
những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”
-Mark Twain
Huỳnh Tiến Phát ETP
$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39
#7
Posted 06-01-2014 - 19:41
Mình sủa lại bài làm của mình tí nhé, bạn xem hợp lý không
Từ $4k\left ( 2k+1 \right )=y^2$ suy ra $k\left ( 2k+1 \right )$ là số chính phương.
Mặc khác $\forall k\in \mathbb{Z};k\neq 0$ thì $k$ và $2k+1$ nguyên tố cùng nhau nên...
chỗ này cũng đưa về 1 phương trình pell $x^{2}-2y^{2}=1$
- tranquocluat_ht and phatthemkem like this
#8
Posted 06-01-2014 - 20:16
Do x,y có mũ chẵn nên giả sử x,y không âm. Dễ thấy x lẻ suy ra y chẵn => x=2a+1 và y=2b. Thay vào ptrình ta được: (2a^2+2a+1).(a^2+a)=b^2. Đặt a^2+a=t => (2t+1).t=b^2. Xét a bằng 0(dễ thấy x=1 và y=0) và a>0. Với th này ta thấy (t;2t+1)=1 nên t và 2t+1 là scp. Ta giải thì không có số nguyên dương thoả. Vậy x=1,y=0 hoặc x=-1,y=0
Vì $t$ chính phương và $2t+1$ chính phương nên đặt $t=X^2,2t+1=Y^2\Rightarrow Y^2-2X^2=1$
Như vậy không trước thì sau, ta cũng dùng đến phương trình $Pell$ !
Edited by Juliel, 06-01-2014 - 20:18.
- phatthemkem likes this
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users