Chủ đề này có 7 trả lời

[davidsilva98]

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^{4}-2y^{2}=1$

[phatthemkem]

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^{4}-2y^{2}=1$

Dễ thấy $x$ lẻ, suy ra $x^2\equiv 1\left ( mod4 \right ) \Rightarrow x^2=4k+1$

Ta có: $\left ( 4k+1 \right )^2-1=2y^2 \Leftrightarrow 2.2k\left ( 2k+1 \right )=y^2$

Vì $2k$ và $2k+1$ là hai số nguyên liên tiếp nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $k=y=0$

Suy ra $x=\pm 1;y=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phatthemkem: 06-01-2014 - 09:36

[Juliel]

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^{4}-2y^{2}=1$

Mình có một lời giải kinh khủng cho bài toán này, nhưng thấy nó khá hay !

Lời giải :

Dễ thấy phương trình có các nghiệm tầm thường $(1,0),(-1,0)$

Đặt $x^2=t$ ta được phương trình $t^2-2y^2=1$. Đây chính là phương trình $Pell$, nghiệm nhỏ nhất của nó là $(3,2)$ nên mọi nghiệm nguyên dương $(t_k,y_k)$ của nó được xác định bởi công thức $$(3+2\sqrt{2})^k=t_k+y_k\sqrt{2}$$.

Nhưng để thỏa mãn phương trình ban đầu có nghiệm nguyên thì $t_k$ phải chính phương với mọi $k$ nguyên dương.

Xét khai triển $$\left ( 3+2\sqrt{2} \right )^{n}=3^n+C_{n}^{1}3^{n-1}.2\sqrt{2}+...+(2\sqrt{2})^{n}$$

Khi đó hiển nhiên 

$$t_{n}=3^{n}+C_{n}^{2}3^{n-2}(2\sqrt{2})^2+...+(2\sqrt{2})^{n}\equiv 3^{n}\;\;(mod\;4)$$

Mà vì $t_n$ chính phương nên $t_{n}\equiv 0,1\;(mod\;4)\Rightarrow 3^n\equiv 0,1\;(mod\;4)$. Vậy phải có $n$ chẵn.

Vì vậy ta xét khai triển $(3+2\sqrt{2})^{2k}=t_k+y_{k}\sqrt{2}$. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng $t_{k}\equiv 7\;(mod\;10)$ và $y_k^2\equiv 4\;(mod\;10)$ $(*)$

Thật vậy, giả sử điều này đúng đến $k$, xét với $k+1$ :

$$t_{k+1}+y_{k+1}\sqrt{2}=(t_k+y_k\sqrt{2})^{2}=t_k^2+2y_{k}^2+2t_ky_k\sqrt{2}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} t_{k+1}=t_k^2+2y_{k}^2 & & \\ y_{k+1}=2t_ky_k& & \end{matrix}\right.$$

Từ đó ta suy ra rằng $$t_{k+1}=t_k^2+2y_k^2\equiv 7^{2}+2.4\equiv 7\;(mod\;10)$$ và $$y_{k+1}^2=(2t_ky_k)^2= 4.t_k^2.y_k^2\equiv 4.7^2.4\equiv 4\;(mod\;10)$$

Theo nguyên lí quy nạp thì mệnh đề $(*)$ là đúng. Tức là ta luôn có $t_{k}\equiv 7\;(mod\;10)$ với mọi $k$ nguyên dương, nên $t_k$ không thể là số chính phương, dẫn đến phương trình ban đầu không thế có nghiệm nguyên.

Kết luận : $\boxed{(x,y)=(1,0),(-1,0)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 05-01-2014 - 21:02

[Juliel]

Dễ thấy $x$ lẻ, suy ra $x^2\equiv 1\left ( mod4 \right ) \Rightarrow x^2=4k+1$

Ta có: $\left ( 4k+1 \right )^2-1=2y^2 \Leftrightarrow 2.2k\left ( 2k+1 \right )=y^2$

Vì $k$ và $2k+1$ là hai số nguyên liên tiếp nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $k=y=0$

Suy ra $x=\pm 1;y=0$

Bài làm chưa ổn lắm Phát ơi ! Một số chính phương thì không thể là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nhưng không có nghĩa nó không chia hết cho tích hai số tự nhiên liên tiếp ! 

[davidsilva98]

Do x,y có mũ chẵn nên giả sử x,y không âm. Dễ thấy x lẻ suy ra y chẵn => x=2a+1 và y=2b. Thay vào ptrình ta được: (2a^2+2a+1).(a^2+a)=b^2. Đặt a^2+a=t => (2t+1).t=b^2. Xét a bằng 0(dễ thấy x=1 và y=0) và a>0. Với th này ta thấy (t;2t+1)=1 nên t và 2t+1 là scp. Ta giải thì không có số nguyên dương thoả. Vậy x=1,y=0 hoặc x=-1,y=0

[phatthemkem]

 

Mình có một lời giải kinh khủng cho bài toán này, nhưng thấy nó khá hay !

Mình sủa lại bài làm của mình tí nhé, bạn xem hợp lý không

Từ $4k\left ( 2k+1 \right )=y^2$ suy ra $k\left ( 2k+1 \right )$ là số chính phương.

Mặc khác $\forall k\in \mathbb{Z};k\neq 0$ thì $k$ và $2k+1$ nguyên tố cùng nhau nên...

[cuongt1k23]

Mình sủa lại bài làm của mình tí nhé, bạn xem hợp lý không

Từ $4k\left ( 2k+1 \right )=y^2$ suy ra $k\left ( 2k+1 \right )$ là số chính phương.

Mặc khác $\forall k\in \mathbb{Z};k\neq 0$ thì $k$ và $2k+1$ nguyên tố cùng nhau nên...

chỗ này cũng đưa về 1 phương trình pell $x^{2}-2y^{2}=1$

[Juliel]

Do x,y có mũ chẵn nên giả sử x,y không âm. Dễ thấy x lẻ suy ra y chẵn => x=2a+1 và y=2b. Thay vào ptrình ta được: (2a^2+2a+1).(a^2+a)=b^2. Đặt a^2+a=t => (2t+1).t=b^2. Xét a bằng 0(dễ thấy x=1 và y=0) và a>0. Với th này ta thấy (t;2t+1)=1 nên t và 2t+1 là scp. Ta giải thì không có số nguyên dương thoả. Vậy x=1,y=0 hoặc x=-1,y=0

Vì $t$ chính phương và $2t+1$ chính phương nên đặt $t=X^2,2t+1=Y^2\Rightarrow Y^2-2X^2=1$

Như vậy không trước thì sau, ta cũng dùng đến phương trình $Pell$ !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 06-01-2014 - 20:18