Đến nội dung


Hình ảnh

Chứng minh rằng $\lim \sqrt{n}.X_{n}=1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Phanh

Phanh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 220 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Bắc Giang

Đã gửi 03-01-2014 - 20:49

Cho dãy $X_{n}$ thỏa mãn $X_{1}=1$ và $X_{n+1}= \sin X_{n}$

Chứng minh rằng $\lim \sqrt{n}.X_{n}=1$

 



#2 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 22-09-2017 - 12:26

Cho dãy $X_{n}$ thỏa mãn $X_{1}=1$ và $X_{n+1}= \sin X_{n}$

Chứng minh rằng $\lim \sqrt{n}.X_{n}=1$

 

Dãy $\{x_n\}$ đơn điệu giảm và hội tụ về $0$.

\[\frac{1}{x_{n+1}^2}-\frac{1}{x_{n}^2}= \frac{x_n^2-\sin^2 x_n}{\sin^2x_n x_{n}^2}.\]

 

Vì $\lim_{x\to 0}\frac{x^2-\sin^2x}{x^2\sin^2x}=\frac{1}{3}$ nên $\lim \left(\frac{1}{x_{n+1}^2}-\frac{1}{x_{n}^2}\right)=\frac{1}{3}.$

 

Dùng Césaro, ta có $\lim \frac{1}{nx_n^2}=\frac{1}{3}$. Hơn nữa, vì $x_n>0\, \forall n\in \mathbb{N}$ nên $\lim \sqrt{n} x_n=\sqrt{3}.$


Đời người là một hành trình...


#3 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1322 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-10-2017 - 19:08

Bạn làm đúng rồi ạ. +10 điểm PSW.


$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh