Chủ đề này có 1 trả lời

[caybutbixanh]

Bài toán : Tìm m >0 để phương trình $x^{2}-2x+m=0$ có hai nghiệm phân biệt hoặc trùng nhau x=a; y=b sao cho $2a^{3}+3b^{2}$ có giá trị nhỏ nhất.

[khangdn98]

Bài toán : Tìm m >0 để phương trình $x^{2}-2x+m=0$ có hai nghiệm phân biệt hoặc trùng nhau x=a; y=b sao cho $2a^{3}+3b^{2}$ có giá trị nhỏ nhất.

 

 

Điều kiện $ 0 < m \leq 1 $. Theo Viete: $ a+b=2; ab=m$. Do $m > 0$ nên dễ thấy rằng $a,b > 0$. Khi đó ta có

 

- Cách 1: $2a^{3}+3b^{2} = (a^{3}+a^{3}+1)+3b^{2}-1$ $\geqslant 3a^{2}+3b^{2} - 1 \geqslant  $ $3(a+b)^{2}:2-1=5 $

 

- Cách 2: $b=2-a$ nên $2a^{3}+3b^{2} = 2a^{3}+3(2-a)^{2} = (a-1)^{2}(2a+7)+5 \geqslant 5 $

 

 

Dấu bằng khi $a=b=1$ hay $m=1$