Chủ đề này có 4 trả lời

[MR MATH]

BÀI TẬP VỀ SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ:

1,Cho p,q là 2 số nguyên tố phân biệt,CMR: $p^{q-1}+q^{p-1}\equiv 1( mod pq)$

2. Cho a,b là các số nguyên, p là số nguyên tố.CMR: $(a+b)^p\equiv a^p+b^p(mod p)$

3. cho p là số  nguyên tố lẻ.CMR: $2(p-3)!\equiv -1(mod p)$

4. CMR: với mọi số nguyên tố p, tồn tại vô hạn số nguyên dương n thỏa mãn: $2^n-n\vdots p$

[Phuong Thu Quoc]

Vì p,q là 2 số nguyên tố phân biệt nên theo định lí Fermat nhỏ ta có $q^{p-1}\equiv 1\left ( mod p \right )$

Mặt khác $p^{q-1}\vdots p\Rightarrow p^{q-1}+q^{p-1}-1\vdots p$

Tương tự $p^{q-1}+q^{p-1}-1\vdots q$

Vì p,q là 2 số nguyên tố phân biệt nên $p^{q-1}+q^{p-1}-1\vdots pq\Leftrightarrow p^{q-1}+q^{p-1}\equiv 1\left ( mod pq \right )$

[Phuong Thu Quoc]

3/ Vì p là số nguyên tố lẻ nên theo định lí Wilson ta có $\left ( p-1 \right )!\equiv -1\left ( mod p \right )$

Từ đó ta có $\left ( p-3 \right )!\left ( p-1 \right )\left ( p-2 \right )\equiv -1\left ( mod p \right )\Leftrightarrow p\left ( p^{2}-3 \right )\left ( p-3 \right )!+2\left ( p-3 \right )!\equiv -1\left ( mod p \right )\Leftrightarrow 2\left ( n-3 \right )!\equiv -1\left ( mod p \right )$

Đó là đpcm

[Rias Gremory]

BÀI TẬP VỀ SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ:

2. Cho a,b là các số nguyên, p là số nguyên tố.CMR: $(a+b)^p\equiv a^p+b^p(mod p)$

Câu $2$

[Phuong Thu Quoc]

Vì p là số nguyên tố nên theo định lí Fermat nhỏ ta có 

$\left ( a+b \right )^{p}\equiv a+b\left ( mod p \right )$

$a^{p}\equiv a\left ( mod p \right ),b^{p}\equiv b(mod p)\Rightarrow a^{p}+b^{p}\equiv a+b( mod p)$

Từ đó suy ra $\left ( a+b \right )^{p}\equiv a^{p}+b^{p}\left ( mod p \right )$