1. Trung Quốc (2006)
Cho a, b, c là các số thực dương và a + b + c =3. Chứng minh rằng
$\frac{a^{2}+9}{2a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}}+\frac{b^{2}+9}{2b^{2}+\left ( a+c \right )^{2}}+\frac{c^{2}+9}{2c^{2}+\left ( b+a \right )^{2}}\leq 5$
2.Mỹ (2003)
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
$\frac{\left ( 2a+b+c \right )^{2}}{2a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}}+\frac{\left ( 2b+c+a \right )^{2}}{2b^{2}+\left ( c+a \right )^{2}}+\frac{\left ( 2c+a+b \right )^{2}}{2c^{2}+\left ( a+b \right )^{2}}\leq 8$
3.Nhật Bản (1997)
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
$\frac{\left ( b+c-a \right )^{2}}{\left ( b+c \right )^{2}+a^{2}}+\frac{\left ( c+a-b \right )^{2}}{\left ( c+a \right )^{2}+b^{2}}+\frac{\left ( a+b-c \right )^{2}}{\left ( a+b \right )^{2}+c^{2}}\geq \frac{3}{5}$
4.Bulgarian (2004)
5.Albania (2002)
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
$\frac{1+\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq a+b+c +\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
