Chủ đề này có 3 trả lời

[tranthanhhung]

Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác chứng minh rằng nếu S = 1 thì $a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq 16$

[Binh Le]

CM như sau 
Ta có $S= 1= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ $=\sqrt{p}.\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)}$ $\leq \frac{p^{2}}{3\sqrt{3}}$ (dùng Cauchy)
$= \frac{(a+b+c)^{2}}{12\sqrt{3}} \leq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4\sqrt{3}}\leq \frac{\sqrt{a^{4}+b^{4}+c^{4}}}{4}$
$\Rightarrow 16\leq a^{4}+b^{4}+c^{4} (dpcm)$

Đẳng thưcx xảy ra khi tam giác đều

[tranthanhhung]

CM như sau 
Ta có $S= 1= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ $=\sqrt{p}.\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)}$ $\leq \frac{p^{2}}{3\sqrt{3}}$ (dùng Cauchy)
$= \frac{(a+b+c)^{2}}{12\sqrt{3}} \leq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4\sqrt{3}}\leq \frac{\sqrt{a^{4}+b^{4}+c^{4}}}{4}$
$\Rightarrow 16\leq a^{4}+b^{4}+c^{4} (dpcm)$

Đẳng thưcx xảy ra khi tam giác đều

bạn ơi chỗ dung cauchy sao mình áp dụng không ra nhỉ?

[Binh Le]

$\sqrt{p}.\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)}\leq \sqrt{p}.\sqrt{(\frac{p-a+p-b+p-c}{3})^{3}}=\sqrt{\frac{p^{4}}{3^{3}}}$