Chủ đề này có 1 trả lời

[DarkBlood]

Cho tam giác $ABC.$ Đường thẳng $d$ quay quanh $A,$ $d$ không cắt đoạn thẳng $BC.$ $D$ và $E$ lần lượt là hình chiếu của $B$ và $C$ trên $d.$ Xác định vị trí đường thẳng $d$ để chu vi tứ giác $BDEC$ lớn nhất.

[minhlong02121999]

Bài này hình như cho đề thiếu, phải là tam giác vuông tại A mới được

Vẽ 2 nửa đường tròn đường kính AB,AC nằm ngoài tam giác ABC

Ta có $\bigtriangleup ABD$ vuông tại D nên $BD^{2}+AD^{2}=AB^{2}$ (Pytago)

         $\bigtriangleup AEC$ vuông tại E nên $AE^{2}+EC^{2}=AC^{2}$ (Pytago)

Mà ta có BĐT $(x+y)^{2}\leq 2(x^{2}+y^{2})$ (dấu bằng xảy ra khi x=y) nên ta có $\left\{\begin{matrix} DA+DB\leq \sqrt{2(DA^{2}+DB^{2})}=AB\sqrt{2}\\ AE+EC\leq \sqrt{2(AE^{2}+EC^{2})}=AC\sqrt{2} \end{matrix}\right.$

Do đó chu vi $BCED\leq AB\sqrt{2}+AC\sqrt{2}+BC$

Dấu bằng xảy ra  $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} DA=DB\\EA=EC \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow$ D,E lần lượt là trung điểm các cung AB,AC

Ta dễ dàng chứng minh khi đó D,A,E thẳng hàng

Vậy khi d qua trung điểm  các cung AB,AC thì tứ giác BCNM lớn nhất

*Bồ sung phần chứng minh BĐT: $(x+y)^{2}\geq 0\Leftrightarrow (x+y)^{2}+(x-y)^{2}\geq (x+y)^{2}\Leftrightarrow (x+y)^{2}\leq 2(x^{2}+y^{2})$ Dấu bằng xảy ra khi x=y