Cho tam giác $ABC.$ Đường thẳng $d$ quay quanh $A,$ $d$ không cắt đoạn thẳng $BC.$ $D$ và $E$ lần lượt là hình chiếu của $B$ và $C$ trên $d.$ Xác định vị trí đường thẳng $d$ để chu vi tứ giác $BDEC$ lớn nhất.
Xác định vị trí đường thẳng $d$ để chu vi tứ giác $BDEC$ lớn nhất.
#1
Đã gửi 06-01-2014 - 20:55
#2
Đã gửi 13-01-2014 - 21:59
Bài này hình như cho đề thiếu, phải là tam giác vuông tại A mới được
Vẽ 2 nửa đường tròn đường kính AB,AC nằm ngoài tam giác ABC
Ta có $\bigtriangleup ABD$ vuông tại D nên $BD^{2}+AD^{2}=AB^{2}$ (Pytago)
$\bigtriangleup AEC$ vuông tại E nên $AE^{2}+EC^{2}=AC^{2}$ (Pytago)
Mà ta có BĐT $(x+y)^{2}\leq 2(x^{2}+y^{2})$ (dấu bằng xảy ra khi x=y) nên ta có $\left\{\begin{matrix} DA+DB\leq \sqrt{2(DA^{2}+DB^{2})}=AB\sqrt{2}\\ AE+EC\leq \sqrt{2(AE^{2}+EC^{2})}=AC\sqrt{2} \end{matrix}\right.$
Do đó chu vi $BCED\leq AB\sqrt{2}+AC\sqrt{2}+BC$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} DA=DB\\EA=EC \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow$ D,E lần lượt là trung điểm các cung AB,AC
Ta dễ dàng chứng minh khi đó D,A,E thẳng hàng
Vậy khi d qua trung điểm các cung AB,AC thì tứ giác BCNM lớn nhất
*Bồ sung phần chứng minh BĐT: $(x+y)^{2}\geq 0\Leftrightarrow (x+y)^{2}+(x-y)^{2}\geq (x+y)^{2}\Leftrightarrow (x+y)^{2}\leq 2(x^{2}+y^{2})$ Dấu bằng xảy ra khi x=y
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh