Chủ đề này có 1 trả lời

[lahantaithe99]

Cho dãy {$U_{n}$} là dãy Fibonaccy và $k,n$là số tự nhiên tùy ý

CMR $\frac{k.U_{n+2}+U_{n}}{k.U_{n+3}+U_{n-1}}$ là phân số tối giản

[Ispectorgadget]

 

Cho dãy {$U_{n}$} là dãy Fibonaccy và $k,n$là số tự nhiên tùy ý

CMR $\frac{k.U_{n+2}+U_{n}}{k.U_{n+3}+U_{n-1}}$ là phân số tối giản

 

Giả thiết phản chứng tồn tại các số tự nhiên $n,k$ sao cho: $ku_{n+2}+u_n$ và $ku_{n+3}+u_{n-1}$ cùng chia hết cho số tự nhiên $d>1$. Suy ra

$$(ku_{n+3}+u_{n+1})-(ku_{n+2}+u_n)\vdots k\Rightarrow k(u_{n+3}-u_{n+2})+(u_{n+1}-u_n)\vdots d \Rightarrow (ku_{n+1}+u_{n-1})\vdots d$$

Áp dụng lập luận trên với $ku_{n+1}+u_{n-1}$ và $ku_{n+2}+u_n$ suy ra $ku_n+u_{n-2}\vdots d$.

Quá trình ấy cứ tiếp diễn và ta đi đên $ku_4+u_2\vdots d$ và $ku_3+u_1\vdots d$. Suy ra

$$(ku_4+u_2)-(ku_3+u_1)\vdots d\Rightarrow k(u_4-u_3)+u_2-u_1\vdots d \Rightarrow ku_2\vdots d.$$

Như vậy ta có điều sau: $k\vdots d$ và $2k+1\vdots d$, mà $d>1$.

Đó là điều vô lý.

Vậy giả thiết phản chứng là sai, tức là với số tự nhiên $n,k$ cho trước thì phân số $\frac{ku_{n+2}+u_n}{ku_{n+3}+u_{n-1}}$ là phân số tối giản.