Chủ đề này có 1 trả lời

[caochinduoi112]

Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm sau:

$z=f(x,y)=1-x^2-y^2$ trên hình tròn $(x-1)^2+(y-1)^2\leq 1$

[percy jackson]

Trên biên:Xét $F(x,y,\lambda )=1-x^{2}-y^{2}+\lambda [(x-1)^{2}+(y-1)^{2}-1]$

   Ta có:$\left\{\begin{matrix} -2x+2\lambda x-2\lambda=0 \\ -2y+2\lambda y-2\lambda =0 \\ (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1 \end{matrix}\right.$

          $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{\lambda }{\lambda -1} \\ y=\frac{\lambda }{\lambda -1} \\ (x-1)^{2} +(y-1)^{2}=1 \end{matrix}\right.$

Giải hệ này ta được:$\lambda =1+\sqrt{2}\Rightarrow x=y=\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\Rightarrow z(x,y)=-2-2\sqrt{2}$

                                $\lambda =1-\sqrt{2}\Rightarrow x=y=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\Rightarrow z(x,y)=2\sqrt{2}-2$

Trong miền trong $(x-1)^{2}+(y-1)^{2}<1$:0<x<2,0<y<2

          $z=1-x^{2}-y^{2}$

   Ta có:$\left\{\begin{matrix} z'_{x}=0 \\ z'_{y}=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} -2x=0 \\ -2y=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=0 \\ y=0 \end{matrix}\right.$(không thoả mãn)

          Suy ra trong miền trong không có điểm dừng

Vậy max z=$2\sqrt{2}-2$,min z=$-2-2\sqrt{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi percy jackson: 08-01-2014 - 02:09