2 replies to this topic

[songokucadic1432]

giả sử $a^2+b^2=1$

chứng minh $((a+b)^2-(a+b))^2\geq 4(a^2-a)(b^2-b)$

thank nhé        

[nam8298]

do $a^{2}+b^{2}=1 \Rightarrow -1 \leq a,b\leq 1$

ta có $(a+b)^{2}=2ab+1$ .do đó sau khi nhân hết ra ta đc bđt cần chứng minh tương đương với (1-a)(1-b)$\geq 0$ (luôn đúng )

[nguyenhuutri]

$\left ( \left ( a+b \right )^{2}-\left ( a+b) \right\right )^{2}\geq4\left ( a^2-a \right )\left ( b^2-b \right )\Leftrightarrow (1+2ab-(a+b))^2\geq 4a^2b^2+4ab-4ab(a+b)\Leftrightarrow (a+b-1)^2\geq 0 (điều này đúng)$$\left ( \left ( a+b \right )^{2}-\left ( a+b) \right\right )^{2}\geq4\left ( a^2-a \right )\left ( b^2-b \right )\Leftrightarrow (1+2ab-(a+b))^2\geq 4a^2b^2+4ab-4ab(a+b)\Leftrightarrow (a+b-1)^2\geq 0 (điều này đúng)$

vậy ta có điều phải chứng minh . dấu = xảy ra khi a=0 b=1 hoặc a=1 b=0

Edited by nguyenhuutri, 09-01-2014 - 21:31.