Chủ đề này có 2 trả lời

[Kaitou Kid 1412]

Cho x,y,z>0,xyz=1.Chứng minh rằng $\frac{1}{1+(x+1)^3}+\frac{1}{1+(y+1)^3}+\frac{1}{1+(z+1)^3} \geq \frac{1}{3}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kaitou Kid 1412: 09-01-2014 - 21:30

[Hoang Tung 126]

Cho x,y,z>0,xyz=1.Chứng minh rằng $\frac{1}{1+(x+1)^3}+\frac{1}{1+(y+1)^3}+\frac{1}{1+(z+1)^3} \geq \frac{1}{3}$.

Đặt $x=\frac{bc}{a^2},y=\frac{ac}{b^2},z=\frac{ab}{c^2}$

Ta có :$A=\sum \frac{1}{1+(x+1)^3}=\sum \frac{1}{1+(\frac{bc}{a^2}+1)^3}=\sum \frac{a^6}{(a^2+bc)^3+a^6}\geq \frac{(\sum a^3)^2}{\sum a^6+\sum (a^2+bc)^3}\geq \frac{1}{3}< = > 3(\sum a^3)^2\geq \sum a^6+\sum (a^2+bc)^3< = > \sum a^6+5\sum a^3b^3\geq 3abc(\sum a^3)+9a^2b^2c^2$

Nhưng bđt này luôn đúng do $3abc(\sum a^3)+9a^2b^2c^2\leq (\sum a^3)^2+9a^2b^2c^2=\sum a^6+2\sum a^3b^3+9a^2b^2c^2\leq \sum a^6+2\sum a^3b^3+3\sum a^3b^3=\sum a^6+5\sum a^3b^3$

(Do áp dụng bđt AM-GM cho 3 số)

 Dấu = xảy ra tại x=y=z=1

[Hoang Tung 126]

Đây là kĩ thuật áp dụng Bunhiacopxki dựa vào điều kiện abc=1