Cho $a,b,n$ là các số nguyên dương,$(a,b)=1$.Chứng minh: $(a+b,\frac{a^n+b^n}{a+b})=(a+b,n)$
#1
Đã gửi 10-01-2014 - 19:52
mathandyou
-
- Thành viên
-
- 171 Bài viết
Trung sĩ
- Zaraki và yeutoan2001 thích
ĐƯỜNG TƯƠNG LAI GẶP NHIỀU GIAN KHÓ.. 
ĐỪNG NẢN LÒNG HÃY CỐ GẮNG VƯỢT QUA. 
-Khải Hoàn-
#2
Đã gửi 10-01-2014 - 22:16
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
Cho $a,b,n$ là các số nguyên dương,$(a,b)=1$.Chứng minh: $(a+b,\frac{a^n+b^n}{a+b})=(a+b,n)$
Em nghĩ phải có thêm điều kiện $n$ lẻ nữa chứ anh nhỉ ?
Tổng quát hơn: $$\gcd \left( \frac{a^n-b^n}{a-b} \right)= \gcd \left( n \left( \gcd(a,b) \right)^{n-1},a-b \right).$$
- mathandyou yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#3
Đã gửi 11-01-2014 - 12:00
mathandyou
-
- Thành viên
-
- 171 Bài viết
Trung sĩ
#4
Đã gửi 11-01-2014 - 12:25
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
Anh cũng nghĩ vậy,$n$ chẳn anh không chứng minh được.Có một bài viết dưới này,anh nghĩ cách chứng minh $n$ chẳn thiếu(hoặc sai).
Em nghĩ là lời giải ở file trên sai anh à.
Em xin trích chứng minh trong bài viết về Thuật toán Euclid của anh Lữ cho trường hợp tổng quát.
Do $a \equiv b \pmod{d}$ nên $$\frac{a^n-b^n}{a-b} =a^{n-1}+a^{n-2}b+ \cdots +b^{n-1} \equiv nb^{n-1} \pmod{d}$$
Đặt $d= \gcd (a,b)$ và $a=da_1,b=db_1$ với $\gcd (a_1,b_1)=1$. Khi đó $\gcd \left( b_1^{n-1},a_1-b_1 \right)=1$.
Do đó $$\gcd \left( \frac{a^n-b^n}{a-b},a-b \right)= \gcd \left( nb^{n-1},a-b \right) \\ = \gcd \left( nd^{n-1}b_1^{n-1},d(a_1-b_1) \right)= \gcd \left( nd^{n-1},a-b \right).$$
- mathandyou, Hoang Thi Thao Hien và yeutoan2001 thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#5
Đã gửi 11-01-2014 - 12:33
mathandyou
-
- Thành viên
-
- 171 Bài viết
Trung sĩ
Chưa biết thế nào,nhưng cách chứng minh trong file trên rõ ràng có nhiều điểm chưa đúng.Vậy mà cái kết quả trên lại được rất nhiều người xem là bổ đề cơ bản.
vd:http://forum.mathsco...ead.php?t=19318
- Zaraki yêu thích
ĐƯỜNG TƯƠNG LAI GẶP NHIỀU GIAN KHÓ..
ĐỪNG NẢN LÒNG HÃY CỐ GẮNG VƯỢT QUA. -Khải Hoàn-
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
