7 replies to this topic

[nghiemthanhbach]

1) $\left\{\begin{matrix} x=y^2+z^2\\ y=z^2+x^2\\ z=x^2+y^2 \end{matrix}\right.$

2) $\left\{\begin{matrix} x+y+z=3\\ xy+yz+zx=-1\\ x^3+y^3+z^3+6=3(x^2+y^2+z^2) \end{matrix}\right.$

Cho $x^2-mx+2m-2=0$
3) Giả sử $x_1;x_2$ là nghiệm phương trình trên hãy chứng minh

$\frac{(x_1^2-2x_1+2)(x^2_2-2x_2+2)}{x_1^2+x_2^2}$ không phụ thuộc vào $m$

Edited by nghiemthanhbach, 11-01-2014 - 22:22.

[mnguyen99]

1) $\left\{\begin{matrix} x=y^2+z^2\\ y=z^2+x^2\\ z=x^2+y^2 \end{matrix}\right.$

2) $\left\{\begin{matrix} x+y+z=3\\ xy+yz+zx=-1\\ x^3+y^3+z^3+6=3(x^2+y^2+z^2) \end{matrix}\right.$

Cho $x^2-mx+2m-2=0$
3) Giả sử $x_1;x_2$ là nghiệm phương trình trên hãy chứng minh

$\frac{(x_1^2-2x_1+2)(x^2_2-2x_2+2)}{x_1^2+x_2^2}$ không phụ thuộc vào $m$

1.

$x=y^{2}+z^{2}\Rightarrow  $x-y^{2}=z^{2}$

thay $x-y^{2}$ vào pt thứ 2 ,phân tích đa thức thành nhân tử.

[Binh Le]

Bài 2 cm như sau 

Gọi 3 pt là (1) ,(2),(3) 

Từ (1)(2) suy ra $x^{2}+y^{2}+z^{2}=11$ thay vào (3) được 
$x^{3}+y^{3}+z^{3}=27 \Leftrightarrow (x+y+z)^{3}-3(x+y)(y+z)(x+z)=27\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(x+z)=0\Leftrightarrow (3-x)(3-y)(3-z)=0\Leftrightarrow 27-9(x+y+z)+3(xy+yz+xz)-xyz=0\Leftrightarrow xyz=-3$

Áp dụng viet 3 số .x,y,z là no pt $X^{3}-3X^{2}-X+3=0\Leftrightarrow (X-1)(X-3)(X+1)=0$

KL no pt (x,y,z) là .....

P/s : có nhiều cách phân tích nhưng đều đi đến sd VIet 3 số
 

Bài 1 cm như sau
Từ gt suy ra x,y,z $\geq$ 0$

Không mất tính tổng quát giả sử $x\geq y\Rightarrow y^{2}\geq x^{2}\Rightarrow y\geq x\Rightarrow x=y$

.....

Edited by Binh Le, 11-01-2014 - 22:43.

[Tran Nguyen Lan 1107]

1) $\left\{\begin{matrix} x=y^2+z^2 (1)\\ y=z^2+x^2 (2)\\ z=x^2+y^2 (3) \end{matrix}\right.$

 

Dễ thấy x,y,z không âm

Xét x=y=z =>x=y=z=0 hoặc x=y=z=0,5

Xét 2 trong 3 số = nhau chẳng hạn x=y=>$z=2x^{2}$,$x=x^{2}+4x^{4}$=>x=0,x=0,5

Xét 3 số khác nhau

 =>$x-y=y^{2}-x^{2}=(y-x)(y+x)$

     Do $x-y\neq 0$ => x+y=-1 mà x,y không âm nên vô nghiệm

 Suy ra nghiệm phương trình là x=y=z=0 hoặc x=y=z=0,5

[Trang Luong]

1) $\left\{\begin{matrix} x=y^2+z^2\\ y=z^2+x^2\\ z=x^2+y^2 \end{matrix}\right.$

 

1)Lấy phương trình $(1) - (2); (2)-(3)$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x-y=y^2-x^2\\ y-z=z^2-y^2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( x-y \right )\left ( x+y+1 \right )=0\\ \left ( y-z \right )\left ( y+z+1 \right )=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow x=y=z$

Vì $x+y+1,y+z+1\geq 1$

3. Theo định lý Viet

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_1.x_2=2m-2\\ x_1+x_2=m \end{matrix}\right.$

Ta có: $\left ( x_1^2-2x_1+2 \right )\left ( x_2^2-2x_2+1 \right )=\left [ \left ( x_1-1 \right )^2+1 \right ]\left [ \left ( x_2-1 \right )^2+1 \right ]=\left [ \left ( x_1-1 \right )\left ( x_2-1 \right )-1 \right ]^2+\left ( x_1+x_2-2 \right )^2=\left ( x_1x_2-x_1-x_2 \right )^2+(m-2)^2=\left ( m-2 \right )^2+\left ( m-2 \right )^2=2\left ( m-2 \right )^2$

và $x_1^2+x_2^2=\left ( x_1+x_2 \right )^2-2x_1x_2=m^2-4m+4=(m-2)^2$

Vậy $\frac{\left ( x_1^2-2x_1+2 \right )\left ( x_2^2-2x_2+1 \right )}{x_1^2+x_2^2}=2$

Edited by khonggiadinh, 12-01-2014 - 08:42.

[angleofdarkness]

1) $\left\{\begin{matrix} x=y^2+z^2\\ y=z^2+x^2\\ z=x^2+y^2 \end{matrix}\right.$

 

 

Ta có thể dùng phương pháp đánh giá.

 

Đặt x = max {x; y; z} $\Rightarrow x\geq y; x\geq z$ $\left \langle 1 \right \rangle$

 

 

Hay $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y^2\geq x^2 \\ z^2\geq x^2\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y^2\geq x^2 \\ z^2\geq x^2\end{matrix}\right.$

 

Từ hệ cho dễ c/m $x,y,z\geq 0.$

 

$\Rightarrow y\geq x;z\geq x.$ $\left \langle 2 \right \rangle$

 

Từ $\left \langle 1 \right \rangle$ và $\left \langle 2 \right \rangle \Rightarrow x=y=z\geq 0.$

 

Thay vào hệ cho tính đc $x=y=z=0$ hoặc $x=y=z=\dfrac{1}{2}.$

Edited by angleofdarkness, 12-01-2014 - 11:41.

[angleofdarkness]

 

 

Bài 1 cm như sau
Từ gt suy ra x,y,z $\geq$ 0$

Không mất tính tổng quát giả sử $x\geq y\Rightarrow y^{2}\geq x^{2}\Rightarrow y\geq x\Rightarrow x=y$

.....

 

Không thể nói là không mất tính tổng quát, vì đây là hệ, các ẩn tham gia chỉ là hoán vị.

[nghiemthanhbach]

Không thể nói là không mất tính tổng quát, vì đây là hệ, các ẩn tham gia chỉ là hoán vị.

Có thể giả sử được, vì xét cả 3 TH cũng vậy