Chủ đề này có 2 trả lời

[mnguyen99]

Cm bđt sau đây đúng với mọi x,y là các số thực bất kì khác không :$\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}+4\geq 3 (\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$

[Trang Luong]

Cm bđt sau đây đúng với mọi x,y là các số thực bất kì khác không :$\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}+4\geq 3 (\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$

Xét dấu

Nếu trong 2 số $x,y$ có 1 số âm và 1 số dương $\Rightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{x}< 0$

Nếu cả 2 số $x,y$ cùng dấu $\Rightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\left | \frac{x}{y} \right |+\left | \frac{y}{x} \right |\geq 2$

Ta có : $\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\geq 3\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )\Leftrightarrow \left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )^2+2\geq 3\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )$

Đặt $\frac{x}{y}+\frac{y}{x} =a$ với $\begin{bmatrix} a<0\\ a\geq 2 \end{bmatrix}$

Ta có : $a^2+2\geq 3a\Leftrightarrow \left ( a-1 \right )\left ( a-2 \right )\geq 0$ luôn đúng

Vậy $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}+4\geq 3 (\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$

[Simpson Joe Donald]

$\text{BDT}\iff \left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2+2-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge 0$

$\iff \left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\right)\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1\right)\ge 0 \\ \iff \frac{(x-y)^2(x^2-xy+y^2)}{x^2y^2}\ge 0$

Bất đẩng thức cuối cùng đúng nên bất đảng thức đầu đúng.

Dấu bằng xảy ra $\iff a=b\neq 0$