$Cho$ $a,b,c >0$ $tm$ $a+b+c=ab+bc+ca$
$Cmr$ $P=\frac{1}{a^{2}+c+1}+\frac{1}{b^{2}+a+1}+\frac{1}{c^{2}+b+1}\leq 1$
(Olympic Toán ,Serbia và Montenegro 2009)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Binh Le: 13-01-2014 - 21:52
$Cmr$ $P=\frac{1}{a^{2}+c+1}+\frac{1}{b^{2}+a+1}+\frac{1}{c^{2}+b+1}\leq 1$
Bắt đầu bởi Binh Le, 12-01-2014 - 10:39
#1
Đã gửi 12-01-2014 - 10:39
Binh Le
-
- Thành viên
-
- 226 Bài viết
Thượng sĩ
#2
Đã gửi 12-01-2014 - 11:06
hoangtubatu955
-
- Thành viên
-
- 429 Bài viết
Sĩ quan
Đặt $a=\frac{xy}{z^2}$...
#3
Đã gửi 12-01-2014 - 11:34
Simpson Joe Donald
-
- Thành viên
-
- 293 Bài viết
Thượng sĩ
$Cho$ $a,b,c >0$ $tm$ $abc=1$
$Cmr$ $P=\frac{1}{a^{2}+c+1}+\frac{1}{b^{2}+a+1}+\frac{1}{c^{2}+b+1}\leq 1$
$(a^2+c+1)(1+c+b^2)\ge (a+b+c)^2\implies \dfrac{1}{a^2+c+1}\le \dfrac{b^2+c+1}{(a+b+c)^2}$
Câu nói bất hủ nhất của Joker :
Joker để dao vào mồm Gambol nói : Mày muốn biết vì sao tao có những vết sẹo trên mặt hay không ? Ông già tao là .............. 1 con sâu rượu, một con quỷ dữ. Và một đêm nọ , hắn trở nên điên loạn hơn bình thường . Mẹ tao vớ lấy con dao làm bếp để tự vệ . Hắn không thích thế ... không một chút nào . Vậy là tao chứng kiến ... cảnh hắn cầm con dao đi tới chỗ bà ấy , vừa chém xối xả vừa cười lớn . Hắn quay về phía tao và nói ... "Sao mày phải nghiêm túc?". Hắn thọc con dao vào miệng tao. "Hãy đặt nụ cười lên khuôn mặt nó nhé". Và ... "Sao mày phải nghiêm túc như vậy ?"
#4
Đã gửi 12-01-2014 - 17:24
25 minutes
-
- Hiệp sỹ
-
- 2795 Bài viết
Thành viên nổi bật 2015
Đặt $a=\frac{xy}{z^2}$...
$(a^2+c+1)(1+c+b^2)\ge (a+b+c)^2\implies \dfrac{1}{a^2+c+1}\le \dfrac{b^2+c+1}{(a+b+c)^2}$
Làm hoàn chỉnh cho mọi người cùng tham khảo đi mấy bạn 
#5
Đã gửi 13-01-2014 - 19:10
buiminhhieu
-
- Thành viên
-
- 1150 Bài viết
Thượng úy
$Cho$ $a,b,c >0$ $tm$ $abc=1$
$Cmr$ $P=\frac{1}{a^{2}+c+1}+\frac{1}{b^{2}+a+1}+\frac{1}{c^{2}+b+1}\leq 1$
Đề sai rồi phải là $P\geq 1$ mới đúng
Làm hoàn chỉnh cho mọi người cùng tham khảo đi mấy bạn
Do abc=1 nên tồn tại các số m,n,p thỏa mãn
$a=\frac{mn}{p^{2}};b=\frac{np}{m^{2}};c=\frac{mp}{n^{2}}$
Khi đó BĐT $\Leftrightarrow \sum \frac{1}{(\frac{mn}{p^{2}})^{2}+\frac{mn}{p^{2}}+1}$
$=\sum \frac{p^{^{4}}}{m^{2}n^{2}+mnp^{2}+p^{4}}\geq \frac{\sum (p^{2})^{2}}{\sum (m^{2}n^{2}+mnp^{2}+p^{4})}$
Lại có
$\sum( m^{2}n^{2}+mnp^{2}+p^{4})=(\sum p^{4}+\sum m^{2}n^{2})+\sum mp.np\leq (\sum p^{4}+\sum m^{2}n^{2})+\sum m^{2}n^{2}=(\sum p^{2})^{2}$
Do đó $P\geq \frac{(\sum p^{2})^{2}}{(\sum p^{2})^{2}}=1$
Dấu "=" khi a=b=c=1
- Binh Le yêu thích
Chuyên Vĩnh Phúc
#7
Đã gửi 13-01-2014 - 21:07
Binh Le
-
- Thành viên
-
- 226 Bài viết
Thượng sĩ
Sr m.n đề đúng là $a+b+c=ab+bc+ca$ (Olympic Toán ,Serbia và Montenegro 2009) 
m/n thông cảm nha 
Cm bằng Bunhia ở mẫu rồi biến đổi theo giả thiết là ra
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Binh Le: 13-01-2014 - 21:37
- trandaiduongbg yêu thích
๖ۣۜI will try my best ๖ۣۜ
#8
Đã gửi 13-01-2014 - 21:48
trandaiduongbg
-
- Thành viên
-
- 327 Bài viết
Sĩ quan
Sr m.n đề đúng là $a+b+c=ab+bc+ca$ (Olympic Toán ,Serbia và Montenegro 2009)
m/n thông cảm nha
Cm bằng Bunhia ở mẫu rồi biến đổi theo giả thiết là ra
Bạn ơi đề đúng có phải thế này không?????
Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=ab+bc+ca$
CMR: $P=\frac{1}{a^2+c+1}+\frac{1}{b^2+a+1}+\frac{1}{c^2+b+1} \leq 1$
- Binh Le yêu thích
#9
Đã gửi 15-01-2014 - 11:42
nguyenqn1998
-
- Thành viên
-
- 173 Bài viết
Trung sĩ
Bạn ơi đề đúng có phải thế này không?????
Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=ab+bc+ca$
CMR: $P=\frac{1}{a^2+c+1}+\frac{1}{b^2+a+1}+\frac{1}{c^2+b+1} \leq 1$
ta có: $(a^2+c+1)(1+c+b^2)\geq(a+b+c)^2 => \frac{1}{a^2+c+1}\leq\frac{b^2+c+1}{(a+b+c)^2}$
$=>\sum \frac{1}{a^2+c+1}\leq\sum\frac{\sum a^2 +\sum a +3}{(a+b+c)^2}=\sum\frac{\sum a^2 +\sum ab+3}{(a+b+c)^2}$
mà $(ab+bc+ca)^2=(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)=> ab+bc+ca \geq 3$
$=> P\leq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1$ (dpcm)
dấu '=' khi $a=b=c=1$
- ongngua97 yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
