Chủ đề này có 4 trả lời

[buitudong1998]

Cho $x, y, z\geqslant \frac{2}{3}$ và $x+y+z=3$. CMR: $x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}\geqslant xy+yz+zx$

[banhgaongonngon]

Cho $x, y, z\geqslant \frac{2}{3}$ và $x+y+z=3$. CMR: $x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}\geqslant xy+yz+zx$

 

Xét hàm số

$f(x,y,z)=x^{2}(y^{2}+z^{2})+y^{2}z^{2}-x(y+z)-yz$

 

Khi đó

$f\left (x,\frac{y+z}{2},\frac{y+z}{2}  \right )=x^{2}.\frac{(y+z)^{2}}{2}+\frac{(y+z)^{4}}{16}-x(y+z)-\frac{(y+z)^{2}}{4}$

 

Đặt $x=\max(x,y,z)$

 

Ta có

$f(x,y,z)-f\left ( x,\frac{y+z}{2},\frac{y+z}{2} \right )$

$=x^{2}.\frac{(y-z)^{2}}{2}-\frac{(y-z)^{2}}{16}\left ( y^{2}+z^{2}+6yz \right )+\frac{(y-z)^{2}}{4}$

$=\frac{(y-z)^{2}}{16} \left (8x^{2}-y^{2}-z^{2}-6yz+4 \right )\geq 0$

 

Nên ta chỉ cần chứng minh

$f(x,y,y)\geq 0$

 

tức là cần chứng minh bất đẳng thức đúng trong trường hợp $y=z$

 

Thật vậy, với $y=z$, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

$2(3-2y)^{2}y^{2}+y^{4}-y^{2}-2(3-2y)y\geq 0$

 

Nhưng bất đẳng thức trên lại đúng do nó tương đương với

$y(3y-2)(y-1)^{2}\geq 0$

 

Vậy bất đẳng thức cần chứng minh là đúng.

 

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 12-01-2014 - 18:56

[Kaito Kuroba]

Xét hàm số

$f(x,y,z)=x^{2}(y^{2}+z^{2})+y^{2}z^{2}-x(y+z)-yz$

 

Khi đó

$f\left (x,\frac{y+z}{2},\frac{y+z}{2}  \right )=x^{2}.\frac{(y+z)^{2}}{2}+\frac{(y+z)^{4}}{16}-x(y+z)-\frac{(y+z)^{2}}{4}$

 

Đặt $x=\max(x,y,z)$

 

Ta có

$f(x,y,z)-f\left ( x,\frac{y+z}{2},\frac{y+z}{2} \right )$

$=x^{2}.\frac{(y-z)^{2}}{2}-\frac{(y-z)^{2}}{16}\left ( y^{2}+z^{2}+6yz \right )+\frac{(y-z)^{2}}{4}$

$=\frac{(y-z)^{2}}{16} \left (8x^{2}-y^{2}-z^{2}-6yz+4 \right )\geq 0$

 

Nên ta chỉ cần chứng minh

$f(x,y,y)\geq 0$

 

tức là cần chứng minh bất đẳng thức đúng trong trường hợp $y=z$

 

Thật vậy, với $y=z$, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

$2(3-2y)^{2}y^{2}+y^{4}-y^{2}-2(3-2y)y\geq 0$

 

Nhưng bất đẳng thức trên lại đúng do nó tương đương với

$y(3y-2)(y-1)^{2}\geq 0$

 

Vậy bất đẳng thức cần chứng minh là đúng.

 

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$

 

nhưng hơi dài nhỉ:

 

giã sử : $a\geq b\geq c\geq \frac{2}{3}$

$\sum \left (x^2y^2+1 \right )\geq 2\sum xy$  (1)

vì: $a\geq b\geq c\geq \frac{2}{3}$ $\Rightarrow xy\geq x\Rightarrow \sum xy\geq \sum x$

==>(1) đúng

$"= "\Leftrightarrow x=y=z=1$

[vitconvuitinh]

nhưng hơi dài nhỉ:

 

giã sử : $a\geq b\geq c\geq \frac{2}{3}$

$\sum \left (x^2y^2+1 \right )\geq 2\sum xy$  (1)

vì: $a\geq b\geq c\geq \frac{2}{3}$ $\Rightarrow xy\geq x\Rightarrow \sum xy\geq \sum x$

==>(1) đúng

$"= "\Leftrightarrow x=y=z=1$

 

Mình nghĩ nếu $0<a<1 \Rightarrow ab<b$

[Kaito Kuroba]

Mình nghĩ nếu $0<a<1 \Rightarrow ab<b$

 

nhưng mình đang so sánh xy với x chứ đâu phải y