CMR: $\left ( 1+2x^{2} \right )ln\sqrt{1+2x^{2} }\leqslant x^{2}, \forall x\in \mathbb{R}$
CMR: $\left ( 1+2x^{2} \right )ln\sqrt{1+2x^{2} }\leqslant x^{2}, \forall x\in \mathbb{R}$
Bắt đầu bởi HauBKHN, 13-01-2014 - 23:49
#1
Đã gửi 13-01-2014 - 23:49
HauBKHN
-
- Thành viên
-
- 68 Bài viết
Hạ sĩ
#2
Đã gửi 14-01-2014 - 00:03
Mrnhan
-
- Thành viên
-
- 1100 Bài viết
$\text{Uchiha Itachi}$
CMR: $\left ( 1+2x^{2} \right )ln\sqrt{1+2x^{2} }\leqslant x^{2}, \forall x\in \mathbb{R}$
Giải:
$\left ( 1+2x^2 \right )\ln\sqrt{1+2x^2}\geq x^2\Leftrightarrow \left ( 1+2x^2 \right )\ln\left ( 1+2x^2 \right )\geq \left ( 1+2x^2 \right )-1$
Đặt $t=1+2x^2,\: t\geq 1$
Bất đẳng thức tương đương với:
$$t\ln t\geq t-1\Leftrightarrow \ln t+\frac{1}{t}-1\geq 0$$
Xét hàm $f(t)=\ln t+\frac{1}{t}-1$ với $t\geq 1$
Ta có $f'(t)=\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}\geq 0\to f(t)\geq f(1)=0$
- HauBKHN yêu thích
$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$
$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
