Với $a,b,c>0$ thoả $ab+bc+ca=3abc$. Tìm MIN của:
$P=a+b+c-\frac{1}{2}(\sum \sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}}{2}})$
Với $a,b,c>0$ thoả $ab+bc+ca=3abc$. Tìm MIN của:
$P=a+b+c-\frac{1}{2}(\sum \sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}}{2}})$
Với $a,b,c>0$ thoả $ab+bc+ca=3abc$. Tìm MIN của:$P=a+b+c-\frac{1}{2}(\sum \sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}}{2}})$
Bổ đề
Với mọi số thực dương $a,b$ ta có
$\sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}}{2}}\leq \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}$ $(*)$
Chứng minh
Ta có
$(*)\Leftrightarrow 2(a^{2}+b^{2})^{3}\geq (a+b)^{3}(a^{3}+b^{3})$
$\Leftrightarrow 2(a^{6}+b^{6}+3a^{4}b^{2}+3a^{2}b^{4})\geq (a^{3}+b^{3})(a^{3}+b^{3}+3a^{2}b+3ab^{2})$
$\Leftrightarrow (a-b)^{4}(a^{2}+ab+b^{2})\geq 0$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b$
Trở lại bài toán
Áp dụng bổ đề trên ta có
$\frac{1}{2}\sum \sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}}{2}}\leq \frac{1}{2}\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}$
$=\frac{1}{2}\sum \left ( a+b-\frac{2ab}{a+b} \right )=\sum a-\sum \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$
Mặt khác, từ giả thiết $\sum \frac{1}{a}=3$ ta suy ra
$\sum \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\geq \frac{9}{2\sum \frac{1}{a}}=\frac{3}{2}$
Dẫn tới
$P=\sum a- \frac{1}{2}\sum \sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}}{2}}\geq \frac{3}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 20-01-2014 - 13:03
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh